6.4.1. Коррекция с помощью изолированного импульса

В данном подходе [324] используется обучающая мода, для создания которой изолированный тестовый импульс (или ряд неперекрывающихся тестовых импульсов) передается по каналу и используется в качестве входного сигнала адаптивного корректирующего фильтра. Корректирующий фильтр настроен таким образом, чтобы его выходной сигнал был как можно ближе к искомому выходному сигналу (например, к форме передаваемого тестового импульса). С этого момента процесс обучения считается завершенным и может начинаться передача информации с более высокой скоростью. Для учета изменений во времени некоторых характеристик канала обучение может периодически повторяться. 

Пусть - - мерный вектор, содержащий выборки выходного сигнала канала, создаваемого -м тестовым импульсом; он будет также входным сигналом корректирующего фильтра. Пусть  содержит импульсный отклик корректирующего фильтра длиной выборок, а  - результат свертки входного сигнала корректирующего фильтра длиной  выборок  и  импульсной характеристики . И, наконец, пусть  содержит искомый выходной сигнал длиной  выборок для -го импульса (он может не зависеть от ), и пусть содержит  коэффициентов его БПФ.

Поскольку  и  - конечные последовательности, их линейную свертку можно вычислить с помощью БПФ следующим образом. Пусть  - диагональная матрица, компоненты которой задаются  коэффициентами БПФ вектора  и дополняются  нулями, т. е.

          (6.74)

Определим  как  - мерное БПФ импульсной характеристики, дополненной нулями:

          (6.75)

Тогда задается выражением

             (6.76)

Мы хотим выбрать  таким, чтобы минимизировать

                 (6.77)

что эквивалентно выбору такого , которое минимизирует

              (6.78)

при наложенном ограничении, заключающемся в том, что последние  элементов  равны нулю. Используя метод итераций, можно рассчитать оптимальное значение , если начальное значение  удовлетворяет ограничению

                 (6.79)

где  - матрица ограничения, задаваемая  в виде

         (6.80)

Рис. 6.4 Корректирующий фильтр для одиночного импульса, когда весовые коэффициенты адаптируются только во время обучающего сигнала.

В определении (6.80) величина - матрица ДПФ, а  - единичная матрица . Выражение (6.79) представляет собой линейно ограниченный алгоритм убывания градиента. Ограничение можно реализовать с помощью преобразования  во временной области, если приравнять нулю последние  значений и выполнить обратное преобразование в частотную область. Алгоритм коррекции проиллюстрирован на рис. 6.4.

Блок-схема, изображенная на рис. 6.4, аналогична блок-схеме адаптивного фильтра на основе быстрого МНК (рис. 6.2); разница между ними состоит в том, что выходной сигнал не обрабатывается с помощью функции окна во временной области до его возврата для адаптации весовых коэффициентов. Эту обработку с помощью функции окна можно исключить, оставив лишь линейную свертку, поскольку последовательность входных сигналов была конечной и, следовательно, перед сверткой с импульсной характеристикой эту последовательность можно было дополнить нулями. Исключение обработки с помощью функции окна, с точки зрения вычислений, имеет преимущество, так как весовые коэффициенты могут корректироваться фактически без вычисления обратного БПФ выходного сигнала. Когда процесс обучения завершается и начинается передача информации,  адаптация весовых коэффициентов становится невозможной и выходной сигнал следует вычислять с помощью метода уменьшения перекрытия.  

Свойства сходимости.  Характер сходимости линейно ограниченных алгоритмов убывания градиента типа (6.79) анализировался в работе [109]. Если диагональная матрица имеет вид

             (6.81)

то постоянные времени адаптивного процесса задаются характеристическими числами , т. е. временная постоянная для - й моды равна

         (6.82)

где  - - е характеристическое число  . Если выбирается так, чтобы выполнялось неравенство

                  (6.83)

то средний весовой вектор сходится к своему оптимальному значению, задаваемому в виде

             (6.84)

где

          (6.85)

и

                (6.86)

 

Отличные от нуля характеристические числа   ограничены наименьшим и наибольшим характеристическими числами , т. е.

           (6.87)

где  и  - наименьшее и наибольшее характеристические числа  . Поскольку матрица    диагональная, легко получить ее характеристические числа, которые задаются среднеквадратичными значениями коэффициентов БПФ. Достаточным условием устойчивости адаптивного процесса будет условие

        (6.88)

Благодаря легкости определения характеристических чисел , было установлено, что  можно выбирать таким, чтобы обеспечить более высокую скорость сходимости по сравнению с сопоставимыми корректирующими фильтрами, выполняющими обработку во временной области [324].

Используя подход, аналогичный рассмотренному в предыдущих разделах, можно получить следующее выражение для расстройки:

           (6.89)