7.1.3. Выбор начальных значений для вычисления условного правдоподобия

Рассмотрим вкратце способ расчета безусловного правдоподобия, которое в сущности и необходимо для оценивания параметров.

В ряде случаев, когда не мало, достаточно хорошим приближением к безусловной функции правдоподобия является условная функция правдоподобия, в которой вместо элементов и в (7.1.3) подставлены подходящие численные значения. Один из способов — приравнять элементы и их безусловным математическим ожиданиям. Безусловные математические ожидания элементов — нули, и если модель не содержит детерминированной части (в частности, при ), безусловные математические ожидания также будут равны нулю). Однако это приближение оказывается плохим, если некоторые корни близки к единичной окружности, т. е. процесс приближается к нестационарному. В этом случае начальное значение данных может значительно отклоняться от его безусловного математического ожидания, и введение начальных значений этого типа создаст переходный процесс большой амплитуды, который будет медленно затухать. При подгонке модели порядка мы будем иногда пользоваться более надежной процедурой аппроксимации. Она сводится к вычислению , начиная с и приравниванию предварительно предыдущих нулю. Таким образом, фактически имеющиеся значения полностью использованы для вычисления .

Этим способом мы можем вычислить сумму квадратов только для значений ряда но для длинного ряда небольшая потеря информации несущественна. В случаях, когда авторегрессионных членов не имеется, две описанные методики эквивалентны. Для сезонных рядов, рассмотренных в гл. 9, условная аппроксимация не дает удовлетворительных результатов, и вычисление безусловного правдоподобия особенно необходимо.

Проиллюстрируем теперь на простом примере рекуррентный расчет условных сумм квадратов .

Вычисление условной суммы квадратов для процесса . Ряд был пробно идентифицирован в табл. 6.4 как процесс ПСС (0,1,1)

, (7.1.4)

т. е.

где и . Нужно напомнить, что в гл. 6 была получена предварительная оценка методом моментов, из которой следовало, что для этих данных близко к нулю.

Вычисление нескольких первых было проведено в табл. 7.1 для частного значения параметра . Элементы вычислялись рекуррентным образом по формуле с точностью до одного знака после запятой. В соответствии со сказанным выше, чтобы начать процесс вычислений, приравнивалось нулю. Это значение показано курсивом. Продолжая вычисления указанным путем, мы нашли, что

Таблица 7.1. Рекуррентный расчет для первых 10 значений ряда при


0	460		0
1 2 3 4	457 452 459 462	-3 -5 7 3	-3,0 -6,5 3,8 4,9
5 6 7 8 9	459 463 479 493 490	-3 4 16 14 -3	-0,6 3,7 17,8 22,9 8,4

Рекуррентный расчет особенно удобен для реализации на ЭВМ. Перебирая значения от до с шагом , мы вычисляли значения условной суммы квадратов (при условии ); результаты показаны в 3-й строке табл. 7.2.