7.1.6. Графическое исследование суммы квадратов

Сумма квадратов для данных IBМ, приведенных в табл. 7.2, показана на рис. 7.1. Минимальная сумма квадратов получается при ; это дает оценку наименьших квадратов, являющуюся хорошим приближением (в предположении о нормальности) к оценке максимального правдоподобия параметра .

Графический анализ сумм квадратов легко обобщается на случай двух параметров путем вычисления сумм квадратов по подходящей сетке значений параметров и вычерчивания изолиний. Как мы обсуждали в разд. 7.1 4, в предположении о нормальности поведение этих изолиний почти такое же, как у функции максимального правдоподобия. Для большинства практических задач вполне пригодны приближенные карты изолиний, построенные на глаз по выходной таблице ЭВМ. На рис. 7.2 показана таблица значений для ряда , к которому был подогнан процесс ПСС.

(7.1.17)

или, в просуммированном виде,

Рис. 7.1. График для ряда B.

Рис. 7.2. Значения для ряда в узлах сетки и приближенные изолинии.

Минимальное значение суммы квадратов на рис. 7.2 достигается при . График подтверждает, таким образом, что лучшей моделью в этом случае является процесс ПСС. Проиллюстрированный здесь способ подгонки несколько более сложными моделями, чем нужно, может давать полезное подтверждение правильности первоначальной идентификации. Усовершенствования модели должны, конечно, делаться в тех направлениях, где ожидается их необходимость.

Рисунок 7.3. Графики как функции для фиксированных значений , используемые при построении изолиний для ряда .

Проведение изолиний. Устройства для автоматического построения графиков и карт по выходным таблицам ЭВМ становятся все более распространенными. С их помощью легко получать карты изолиний по значениям функции на сетке. Если необходимо построить изолинии аккуратно от руки, можно получить серию графиков с аргументом при различных значениях . Проведя горизонтальные линии на выбранных уровнях, для которых будут строиться изолинии, перенесем точки пересечения на плоскость карты. Если необходимо, можно уточнить карту, повторив все построения для как функции при различных фиксированных значениях . Методика построения иллюстрируется табл. 7.6 и рис. 7.3 и 7.4 для процесса , подгоняемого к данным ряда . В табл. 7.6 показана сетка со значениями суммы квадратов, а на рис. 7.3 показаны графики как функции при различных значениях . Абсциссы пересечения с линией используются для построения изолинии на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Построение изолинии для ряда .

Таблица 7.6. Значения суммы квадратов в узлах сетки для ряда в предположении, что модель порядка

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8

0,6 0,4 0,2 0,0

381 217 571 277 949 180 761 474 443 887 3526

11,5

11,1 12,3 13,8 15,9 20,3 19,7 23,3 26,8 41,3 160

7,55 7,08 6,92 7,24 7,94 9,02

10,1

11,4

13,6

19,7

55,5

6,60 5,87 5,52 5,41 5,56 5,99 6,61 7,48 8,97

12,5

28,6

9,00 6,51 5,40 4,89 4,72 4,79 5,09 5,65 6,67 8,91 17,7

14,0 7,45 5,56 4,75 4,44 4,44 4,72 5,39 6,90

12,2

881 12,1 6,55 5,03 4,47 4,40 4,73 5,74 9,19

649 11,0 6,05 4,87 4,66 5,18 7,42

497 10,3 6,00 5,40 6,58

394 10,2 7,30

321

Три параметра. Если мы хотим изучить возможности совместной оценки трех параметров, можно построить набор двумерных диаграмм для различных фиксированных значений третьего параметра. В качестве примера на рис. 7.5 показаны некоторые диаграммы из соответствующих наборов для рядов и . В каждом случае подгонялась достаточно «сложная» модель

или

Результирующие лучшие модели этого типа показаны в табл. 7.7.

Таблица 7.7. Модели ПСС, подогнанные к рядам

Ряд

Подогнанный ряд

0,3 1,1 0,9

0,8

Включение дополнительного параметра (в частности, ) в процесс подгонки не являлось строго необходимым; это было сделано для иллюстрации эффекта «переусложнения» модели и того, как хорошо оправдывается наша идентификация этих рядов.