Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


7.2.2. Численный метод нахождения производных

Как будет показано позднее, производные  могут быть получены непосредственно. Однако для машинных расчетов оказался весьма эффективным общий нелинейный метод наименьших квадратов, в котором производные оцениваются численно. Это делается поочередным возмущением одного из параметров. Затем для данной модели вычисляются рекуррентным образом значения  для ; при этом используется необходимое число значений «прогнозов назад». Затем вычисления повторяются для , затем для  и т. д. Величина, обратная по знаку требуемой производной, находится затем достаточно точно по формуле

.                  (7.2.2)

Описанный численный метод получения производных универсален и требует только наличия программы для вычисления . Общие стандартные программы нахождения нелинейных оценок, нуждающиеся только в дополнительной подпрограмме для вычисления , сейчас уже широко распространены [62]. В некоторых вариантах программы  необходимо указать заранее; в других программа сама выполняет необходимые итерации для выбора подходящего . Некоторые программы включают специальные логические схемы, позволяющие избежать проскоков области минимума и ускорить сходимость [63].

При условии, что решение наименьших квадратов не лежит вблизи границы или на границе области, значения  из последней итерации можно использовать для вычисления приближенных дисперсий, ковариаций и доверительных интервалов. Конкретнее,  аппроксимирует матрицу ковариаций , а  оценивается по .

Применение к процессу (0, 1, 1). В качестве элементарного примера рассмотрим подгонку к ряду  процесса

с . Начало вычислений для пробного значения  показано в табл. 7.9. Значения прогноза назад для  были получены приравниванием  и применением возвратной рекуррентной формулы . Большая точность могла бы быть достигнута применением этой рекуррентной формулы к более далеким значениям ряда. Значения , найденные последовательно из уравнения для  и , приведены в четвертом и пятом столбцах вместе со значениями отрицательных производных  найденных по формуле (7.2.2). Для получения первой поправки для  вычислим

.

В этом примере, используя весь ряд длиной в 197 наблюдений, мы получили сходящийся результат после четырех итераций. Расчет шел следующим образом:

Итерация

0

1

2

3

4

5

0,50

0,63

0,68

0,69

0,70

0,70

Таблица 7.9. Пример расчета производных по данным ряда

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

17,0

16,6

16,3

16,1

17,1

16,9

16,8

17,4

17,1

17,0

16,7

-0,40

-0,30

-0,20

1,00

-0,20

-0,10

0,60

-0,30

-0,10

-0,30

0,2453

-0,2773

-0,4387

-0,4193

0,7903

0,1952

-0,0024

0,5988

-0,0006

-0,1003

-0,3502

0,2496

-0,2727

-0,4391

-0,4239

0,7838

0,1997

0,0019

0,6010

0,0065

-0,0967

-0,3493

-0,43

-0,46

0,04

0,46

0,65

-0,45

-0,43

-0,22

-0,71

-0,36

-0,09

В общем значения  и , минимизирующие , могут быть найдены этим методом с любой необходимой степенью точности. Этот метод особенно удобен потому, что нам не нужно специально программировать расчет производных; не требуется никаких дополнительных процедур, кроме как для вычисления .

Программа 3, описанная в сборнике машинных программ в конце этой книги, позволяет численно оценивать производные и включает возможность прогнозирования назад. Она позволяет найти оценки наименьших квадратов для параметров любого  процесса.

Теперь мы покажем также, что производные можно получить и непосредственно, но для этого нужны дополнительные рекуррентные расчеты.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>