Приложение П7.3. Примеры влияния ошибок оценивания параметров на вероятностные пределы прогнозов

Дисперсии и вероятностные пределы для прогнозов, указанные в разд. 5.2.4, основывались на предположении, что параметры модели АРПСС известны точно. На практике их необходимо заменять выборочными оценками . Для того чтобы получить некоторое представление о влиянии ошибок оценивания на дисперсию ошибок прогноза, мы рассмотрим частный случай нестационарного процесса и стационарного процесса . Будет показано, что для этих процессов в случае, когда оценки параметров основаны на рядах не слишком малой длины, эффект ошибок оценивания мал.

Процессы ПСС(0,1,1). Записав выражения для и сложив их, получим

Обозначим через прогноз с упреждением в случае, когда параметр известен точно. Взяв условные математические ожидания в момент для , получим

Отсюда ошибка прогноза с упреждением равна

и дисперсия ошибки этого прогноза имеет вид

, (П7.3.1)

где .

Однако если заменить ее выборочной оценкой , полученной по ряду из наблюдений , то

где . Отсюда ошибка прогноза с упреждением , использующего , будет

. (П7.3.2)

Так как , отсюда следует, что

и, исключая из (П7.3.2) , получим

Далее,

(П7.3.3)

В предположении, что прогноз и оценка по существу основаны на непересекающихся данных, и будут независимы. Кроме того, для не слишком малых выборок приближенно нормально распределено относительно среднего значения с дисперсией . При этом можно показать, что дисперсия выражения (П7.3.3) имеет вид

При условии, что не слишком близко к единице,

. (П7.3.4)

Ясно, что пропорциональное изменение дисперсии будет наибольшим для , когда точная ошибка прогноза уменьшается до . В этом случае для выборочных оценок параметров, основанных на не слишком коротких рядах, вероятностные пределы увеличиваются в раз.

Процессы авторегрессии первого порядка. Записав выражения для модели для момента и перейдя к условным математическим ожиданиям в момент , получаем прогноз с упреждением , основанный на точном значении параметра,