4.1.2. Общая модель для нестационарного процесса, проявляющего однородность

Модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего. Хотя нестационарные модели рассмотренного выше типа могут представлять определенный интерес для описания взрывного или эволюционного поведения (такого, как размножение бактерий), ситуации, которыми мы занимаемся в этой книге, существенно иные. Мы видели, что процесс АРСС стационарен, если корни уравнения лежат вне единичного круга, и нестационарен, если корни лежат внутри единичного круга. Единственный нерассмотренный возможный случай – когда корни уравнения лежат на единичной окружности. Оказывается, что соответствующие модели очень важны, так как позволяют описывать однородные нестационарные временные ряды. В частности, несезонные ряды могут нередко хорошо описываться моделями, у которых один или несколько корней равны единице; эти модели и рассматриваются в настоящей главе.

Рассмотрим модель

, (4.1.3)

где - нестационарный оператор авторегрессии, такой, что корней уравнения равны единице, а остальные лежат вне единичного круга. Тогда модель (4.1.3) можно представить в виде

, (4.1.4)

где - стационарный оператор авторегрессии. Так как для , мы можем представить модель в виде

. (4.1.5)

Эквивалентное определение процесса можно дать двумя уравнениями

(4.1.6)

. (4.1.7)

Таким образом, мы видим, что модель соответствует предположению, что -я разность ряда может быть представлена стационарным обратимым процессом АРСС. Другой способ трактовки этого процесса при получим, обратив (4.1.7):

, (4.1.8)

где - бесконечный оператор суммирования, определенный как

Таким образом,

Оператор определен аналогично:

и т. д.

Уравнение (4.1.8) указывает, что процесс (4.1.5) можно получить суммированием (или интегрированием) процесса (4.1.6) раз. Поэтому процесс (4.1.5) мы будем называть процессом авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС). Модели АРПСС для нестационарных временных рядов, рассмотренные также Ягломом [38], имеют фундаментальное значение в проблемах прогнозирования и управления [14-20]. Для дальнейшей дискуссии о нестационарных процессах мы отсылаем к Заде и Рагаззини [39] и Калману [40, 41]. Еще ранее Тинтнером [91] была описана процедура анализа рядов, использующая разностный подход, получивший название «метода случайных разностей». Однако мотивы, методы и цели этой процедуры были весьма отличны от рассматриваемых здесь.

Как указывалось в гл. 1, модель (4.1.5) эквивалентна описанию процесса как выхода линейного фильтра ( если , это неустойчивый линейный фильтр), на входе которого белый шум . Иначе мы можем рассматривать его как средство для преобразования сильно зависимых и, возможно, нестационарных членов процесса в последовательности некоррелированных случайных переменных , т. е. для преобразования процесса в белый шум.

Если в (4.1.5) оператор авторегрессии имеет порядок , взята -я разность и оператор скользящего среднего имеет порядок , мы говорим, что имеем модель АРПСС порядка (, , ) или просто процесс АРПСС (, , ).

Две интерпретации модели АРПСС. Покажем теперь, что (4.1.5) – интуитивно оправданная модель для тех типов встречающихся в эксперименте временных рядов, которые мы хотим изучать. Прежде всего отметим основную особенность процесса авторегрессии первого порядка (4.1.2) для и для . Она заключается в том, что локальное поведение ряда, генерируемого моделью, существенно зависит от уровня . Напротив, локальное поведение рядов такого типа, как показанный на рис. 4.1, кажется не зависящим от уровня.

Если нам нужны модели, у которых поведение процесса не зависит от его уровня, следует выбрать оператор авторегрессии таким, что

где - любая константа. Отсюда должно иметь вид

Следовательно, класс процессов, имеющих желаемое свойство, должен иметь вид

где Далее, нельзя допустить, чтобы разность неконтролируемо росла. Это означает, что либо должен быть стационарным оператором авторегрессии, либо , где - стационарный оператор авторегрессии. В последнем случае то же рассуждение можно применить ко второй разности и т. д.

В результате мы приходим к заключению, что для представления нестационарных, но однородных временных рядов оператор в левой части (4.1.3) должен иметь вид , где - стационарный оператор авторегрессии. Таким образом, мы приходим опять к модели (4.1.5). Смысл этой модели можно пояснить и с несколько другой точки зрения. Рассмотрим случай, когда а (4.1.4) , так что . Требование,

Рис. 4.3. Два типа однородного нестационарного поведения: а – ряд с нестационарностью уровня, представимый моделью ; б – ряд с нестационарностью уровня и наклона, представимый моделью .

чтобы нули функции лежали вне единичного круга, приводит к тому, что не только процесс , но и процессы , , и т. д. стационарны и имеют нулевые средние значения.

На рис. 4.3, а показан один тип нестационарных рядов, которые бы мы хотели описать моделью. Этот ряд однороден, если не принимать во внимание уровень; иными словами, отдельные участки ряда, за исключением смещения по вертикали, выглядят одинаковыми. Такое поведение можно описать, выдвинув требование, чтобы каждая разность была стационарна с нулевым средним значением, и допустив «свободные» изменения уровня. Этого можно добиться, используя модель

На рис. 4.3, б показан второй тип нестационарности, часто встречающийся на практике. Этот ряд не имеет ни фиксированного уровня, ни фиксированного наклона, но его поведение однородно, если мы допускаем различие в этих характеристиках. Такое поведение можно описать моделью

которая обеспечивает стационарность и нулевое среднее значение для всех разностей, кроме первой и второй, но допускает «свободные» изменения уровня и наклона.