Приложение П4.4. Процессы АРПСС с добавленным шумом

В этом приложении мы рассмотрим эффект добавления к общему процессу АРПСС(p, d, q) шума (например, ошибок измерений).

П4.4.1. Сумма двух независимых процессов скользящего среднего

В качестве необходимого введения ниже нам понадобится следующий факт. Рассмотрим стохастический процесс  являющийся суммой двух независимых процессов скользящего среднего порядков  и  соответственно:

                                                   (П4.4.1)

где  и  — полиномы от  порядка  и процессы  и  — взаимно независимые белые шумы с нулевыми средними значениями.

Обозначим ; ясно, что автоковариационная функция  процесса  должна быть равна нулю при . Отсюда следует, что существует представление  как единого процесса скользящего среднего порядка

                                                                  (П4.4.2)

где процесс — белый шум с нулевым средним значением.

Итак, сумма двух независимых процессов скользящего среднего — это еще один процесс скользящего среднего, порядок которого совпадает с максимальным порядком слагаемых процессов.

П4.4.2. Эффект добавления шума к общей модели

Коррелированный шум. Рассмотрим общую нестационарную модель порядка

                                                        (П4.4.3)

Предположим, что мы не можем наблюдать  в чистом виде, а только , где  представляет собой некоторый внешний шум (например, измерительную ошибку) и может быть коррелирован. Мы хотим определить природу наблюдаемого процесса .

В общем случае мы имеем

Если шум является стационарным процессом АРСС порядка

                                                           (П4.4.4)

где процесс — белый шум, независимый от процесса , то

   (П4.4.5)

где выражения под скобками показывают степени различных полиномов от . Правая часть (П4.4.5) имеет теперь форму (П4.4.1). Пусть  и  равно большему из чисел  и . Тогда можно записать

где — белый шум,   - процесс порядка .

Белый шум. Если, как это может оказаться в некоторых приложениях, добавленный шум белый, тогда в (П4.4.4)  и мы получаем

                                                       (П4.4.6)

при

имеющем порядок , где  — наибольшее из  и . Если , порядок процесса с шумом тот же, что у первоначального процесса. Единственный эффект дополнительного белого шума — изменение значений  (но не ).

Эффект добавления белого шума к процессу проинтегрированного скользящего среднего. В частности, процесс ПСС порядка  с добавленным белым шумом остается процессом того же порядка, если ; впротивном случае он становится процессом ПСС порядка  . В любом случае параметры процесса изменяются при добавлении шума. Природа этих изменений может быть выяснена приравниванием автоковариациям процесса с добавленным шумом автоковариациям простого процесса ПСС. Пример такой процедуры приводится ниже.

П4.4.3. Пример процесса ПСС (0,1,1) с добавленным белым шумом

Рассмотрим свойства процесса  , когда

                                                           (П4.4.7)

и  и  — взаимно независимые процессы типа белого шума. Процесс  имеет первую разность вида

                                                   (П4.4.8)

Автоковариации для первых разностей  имеют вид

                                                          (П4.4.9)

Тот факт, что все  кроме первого, равны нулю, подтверждает, что процесс с добавленным к нему шумом является, как и ожидалось, процессом ПСС порядка  (0,1,1). Для того чтобы явно выписать параметры этого процесса, предположим, что он может быть представлен в виде

                                                       (П4.4.10)

где процесс  — белый шум. Процесс (П4.4.10) имеет автоковариации

                                                 (П4.4.11)

Приравнивая (П4.4.9) и (П4.4.11), мы можем найти явные выражения для  и . Отсюда

                                                 (П4.4.12)

Положим, например, что первоначальный ряд имеет  и , тогда  и .

П4.4.4. Связь между процессом ПСС (0,1,1) и случайным блужданием

Процесс

                                  (П4.4.13)

который является процессом ПСС(0, 1, 1) с , иногда называется случайным блужданием. Если  — шаги, сделанные вперед или назад в момент времени , тогда представляет положение блуждающего объекта в момент .

Любой процесс ПСС(0, 1, 1) можно трактовать как случайное блуждание, скрытое в белом шуме  который не коррелирован с прошлыми импульсами . Если обозначить «зашумленный» процесс , где определено (П4.4.13), то, используя (П4.4.12), получим

где

                                                        (П4.4.14)

П4.4.5. Автоковариационная функция общей модели с добавленным коррелированным шумом

Предположим, что основной процесс типа АРПСС порядка

и что наблюдается процесс , где  — стационарный процесс с автоковариационной функцией  ,  независимый от процесса  и, следовательно, от . Пусть  — автоковариационная функция для , и пусть . Мы хотим найти автоковариационную функцию для .

Имеем

где

Отсюда

и, следовательно,

                      (П4.4.15)

В качестве примера рассмотрим случай, когда коррелированный шум  добавлен к процессу ПСС(0, 1, 1), определенному как . Тогда автоковариации первых разностей  «зашумленного процесса» будут

В частности, если — процесс авторегрессии первого порядка, т. е.

то

Согласно (П4.4.5), результирующий «зашумленный» процесс  в этом случае определен как

т. е. имеет порядок (1, 1, 2).