5.1. Прогнозы с минимальной среднеквадратичной ошибкой и их свойства

В разд. 4.2 мы рассмотрели три способа представления общей модели АРПСС

                                                                                         (5.1.1)

где . Мы начнем с того, что напомним эти три представления, так как каждое освещает различные стороны проблемы прогнозирования.

Мы займемся прогнозированием значения , в текущий момент времени . Про такой прогноз будем говорить, что он делается в момент  с упреждением . Подытожим теперь результаты разд. 4.2, заменив  на  и  на .

Три явные формы представления модели. Наблюдение , генерируемое процессом (5.1.1), можно выразить следующим образом;

1) Непосредственно при помощи разностного уравнения

              (5.1.2)

2) Как бесконечную взвешенную сумму текущего и предшествующих импульсов

                                            (5.1.3)

где , и, как в (4.2.5), веса  можно найти приравниванием коэффициентов в

                                      (5.1.4)

Для  модель может быть эквивалентно представлена в усеченной форме

                       (5.1.5)

где функция  равна усеченной бесконечной сумме

                                         (5.1.6)

3) Как бесконечную взвешенную сумму предыдущих наблюдений плюс случайный импульс

                                                           (5.1.7)

Если , то

                                                     (5.1.8)

будет взвешенным средним, так как при этом . Как и в (4.2.22), веса  можно получить из равенства

                                        (5.1.9)