5.4.4. Прогнозирование процессов авторегрессии

Рассмотрим процесс порядка

Эвентуальная прогнозирующая функция в этом случае есть решение уравнения . Она применима ко  всем упреждениям и проходит через последние известных значений ряда. Например, модель ряда цен акций IBM (ряда ) очень близка к

так что

Лучший прогноз на будущее оказывается очень близким к текущему значению цены. Весовая функция для сосредоточена в точке , и не происходит никакого осреднения по прошлому.

Стационарные модели авторегрессии. Процесс   порядка , где   — стационарный оператор и  с , будет в общем случае иметь прогнозирующую функцию, являющуюся совокупностью экспонент и затухающих синусоид.

В частности, при = 1 модель порядка (1, 0, 0)

имеет прогнозирующую функцию, которая при любых  является решением уравнения , Отсюда

             (5.4.15)

Кроме того, , так что

и

Следовательно, прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой предсказывает, что текущее отклонение от среднего должно экспоненциально спадать до нуля. На рис. 5.9, а показан временной ряд, генерируемый процессом , с его прогнозирующей функцией для момента . Поведение этой функции целиком определяется только отклонением . Аналогично минимальная среднеквадратичная ошибка прогноза для процесса авторегрессии второго порядка такова, что текущее отклонение от среднего убывает до нуля как затухающая

синусоида или сумма двух экспонент. На рис. 5.9, б показан временной ряд, генерируемый процессом  , и его прогноз для момента  . Поведение прогнозирующей функции для момента  целиком определяется последними двумя отклонениями  и .

Рис. 5.9. Прогнозирующие функции процессов авторегрессии первого и второго порядка:

а — выборка из процесса авторегрессии первого порядка  и прогнозирующая функция для момента = 14. б — выборка из процесса авгорегрессии второго порядка  и прогнозирующая функция на момент =14. 1  — ход прогноза, определяемый только по текущему отклонению, 2 — ход прогноза, определяемый по текущему и предпоследнему отклонениям.

Функция дисперсии для прогноза процесса (1,0,0). Чтобы полнее проиллюстрировать использование (5.1.16), выведем функцию дисперсии для процесса авторегрессии первого порядка. Так как модель в момент  может быть представлена в виде

то из (5.4.15) следует, что

Отсюда

    (5.4.16)

Мы видим, что для этого стационарного процесса при стремлении  к бесконечности дисперсия растет до постоянного значения , равного среднеквадратичному отклонению процесса относительно окончательного прогноза . Это поведение существенно иное, чем у нестационарных моделей, у которых функция дисперсии прогноза при больших упреждениях неограниченно растет.

Рис. 5.10. Прогнозирующая функция для двух процессов (1,1,0):

а — прогнозы процесса (1,1,0) (1 — 0,8) , б — прогнозы процесса (1,1,0) (1 — 0,8) (— 0,2) = .

Нестационарные модели авторегрессии порядка . Для модели

затухать до своего среднего значения при прогнозировании на несколько шагов вперед будет уже -я разность процесса. Среднее  будет, как правило, предполагаться нулевым, если только не появится каких-либо свидетельств в пользу противного. Если это необходимо, можно, как указывалось в гл. 4, ввести ненулевое среднее, заменив в модели  на . Например, рассмотрим модель

                                                      (5.4.17)

После замены  на , переходя к условным математическим ожиданиям при известном на момент прошлом, легко получим (ср. с (5.4.15) и следующими за ним)

Эта формула показывает, что прогнозируемая разность экспоненциально убывает от начального значения до своего среднего значения . Суммируя такие выражения для , изменяющегося от 1 до  получаем прогнозирующую функцию

которая асимптотически приближается к прямой линии

На рис, 5.10 показаны прогнозы для двух случаев и . Мы увидим в гл. 7, что модель (5.4.17)  с  и  хорошо описывает ряд ; прогнозы, основанные на этой модели, уже демонстрировались на рис. 5.1 и 5.2. Рассмотрим теперь прогнозирование некоторых важных смешанных моделей.