1.5. Моделирование случайных векторов по заданным многомерным распределениям

Задачи моделирования на ЦВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале времени , в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения  -мерных случайных векторов, где .

Существует два основных метода моделирования на ЦВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением.

1. Метод условных распределений

Этот метод дает универсальный алгоритм [10, 11], позволяющий в принципе моделировать многомерные Случайные величины с произвольно заданной многомерной функцией плотности. Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат формируемого вектора. Пусть случайный вектор задан своей -мерной функцией плотности . Рассмотрим сначала двумерный случай, когда вектор имеет всего лишь две координаты  и . Одномерная функция плотности случайной величины  имеет вид

                                 (1.13)

Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию  случайной величины  с функцией плотности (1.13). Затем найдем условное распределение случайной величины :

,

произведем выборку  случайной величины  с функцией плотности  и т. д. Полученная таким путем последовательность пар чисел , будет иметь совместную функцию плотности .

Аналогичные соотношения имеют место и для многомерных векторов. Например, если задана совместная функция плотности  трехмерного вектора, то выборка троек чисел осуществляется в соответствии с функциями плотности

                              (1.14)

Описанный прием позволяет в принципе моделировать многомерные случайные величины с произвольно заданной функцией плотности. Однако практическое использование этого способа связано с весьма громоздкими вычислениями, за исключением тех, сравнительно редких случаев, когда интегралы в выражениях типа (1.13), (1.14) берутся в конечном виде. В противном случае приходится прибегать к приближенным вычислениям. При больших значениях  эти вычисления, как правило, оказываются также очень громоздкими и совершенно непригодны для практического использования [10].

Значительно более приемлемым для практической реализации является метод Неймана [103] (см. § 1.4), обобщенный на многомерный случай [23].

2. Метод Неймана

Пусть  — -мерная функция плотности случайного вектора  с областью определения  случайных координат . По аналогии с одномерным случаем для сформирования реализаций вектора  на ЦВМ вырабатывается  случайных чисел , равномерно распределенных в интервалах  соответственно, где  — максимальное значение функции . В качестве реализаций случайного вектора , распределенного по закону , берутся реализации случайного вектора , удовлетворяющие условию .

Реализации случайных чисел , не удовлетворяющие этому условию, выбрасываются.

Идея метода такая же, как и в одномерном случае (1.4), с той лишь разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределенные не на плоскости под кривой  (см. рис. 1.2), а в -мерном объеме под -мерной поверхностью .