3. Получение весовых коэффициентов методом факторизацииВ рассматриваемых выше методах синтеза формирующих дискретных фильтров для моделирования случайных процессов путем скользящего суммирования не использовались специальные свойства корреляционных функций моделируемых случайных процессов. На практике значительный интерес представляют стационарные случайные процессы, у которых корреляционные функции таковы, что преобразования Фурье от них являются рациональными функциями, т. е.
где Случайные процессы с рациональной спектральной плотностью (2.33) наблюдаются, как известно, на выходе линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами при воздействии на входе белого шума. Передаточная функция
где
Произведя в (2.35) умножение, получим (2.33). При моделировании случайных процессов с рациональным спектром фильтр с передаточной функцией (2.34) целесообразно взять в качестве формирующего, но для этого нужно, зная дробно-рациональную спектральную функцию (2.33), найти передаточную функцию (2.34) формирующего фильтра. Последнее можно сделать путем факторизации спектральной функции
Множитель Порядок проведения факторизации следует из теоремы о разложении неотрицательных дробно-рациональных функций на множители [30, 70]: всякая неотрицательная дробно-рациональная относительно
может быть представлена в виде
где Согласно этой теореме для нахождения передаточной функции непрерывного формирующего фильтра методом факторизации нужно найти корни
После того как найдена передаточная функция непрерывного фильтра, нетрудно получить весовые коэффициенты в формуле скользящего суммирования. В самом деле, импульсная переходная характеристика формирующего фильтра согласно известной теореме разложения [41] имеет вид
где
Пусть на входе фильтра с импульсной переходной характеристикой (2.39) воздействует непрерывный белый шум с единичной спектральной плотностью, т. е. с корреляционной функцией
Тогда случайный процесс
Шум
где нормальный шум
где Алгоритм (2.44) является алгоритмом скользящего суммирования с весовой функцией, равной (с точностью до множителя) дискретным значениям импульсной переходной характеристики Пример 2. Найдем весовую функцию для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией и энергетическим спектром вида
Корни знаменателя спектральной функции Передаточная функция формирующего фильтра согласно (2.38) имеет вид
Из условия
Отсюда в соответствии с (2.44) окончательно получим
В рассматриваемом примере спектральная функция допускает простую факторизацию. Однако это не всегда имеет место. При факторизации спектральных функций высокого порядка требуется находить корни полиномов степени выше второй, что в общем случае затруднительно и что ограничивает применение метода факторизации.
|