1. Получение параметров рекуррентных алгоритмов методом факторизации

Пусть — непрерывный стационарный случайный процесс с рациональной спектральной плотностью (2.33). Можно показать [30], что корреляционная функция этого процесса имеет вид

,                (2.49)

где  многочлены относительно  [при кратных корнях ].

Для вещественных процессов комплексной записи (2.36) соответствует вещественная форма записи

,

где  и — многочлены относительно .

Таков общий вид корреляционной функции случайных процессов с рациональным спектром. Корреляционная функция соответствующих дискретных процессов  в общем виде запишется

,      (2.50)

где  — дискретные многочлены;  — безразмерные параметры.

Для дискретного случайного процесса  по аналогии с непрерывным случайным процессом  вводится понятие спектральной плотности (энергетического спектра) в виде (см., например, [85])

,                             (2.51)

где  — безразмерная частота. Спектральная функция  дискретного случайного процесса согласно определению (2.51) является двусторонним дискретным преобразованием Лапласа от его корреляционной функции. Подобно энергетическому спектру  непрерывного случайного процесса функция  неотрицательна. Эти две функции, как известно [85], связаны следующим соотношением:

,

где  — частота дискретизации.

Можно показать [30], что спектральная плотность  дискретного случайного процесса с корреляционной функцией вида (2.50) является рациональной функцией относительно :

,                   (2.52)

где

Для вещественных процессов все коэффициенты  — вещественные числа.

Известно [85], что при воздействии дискретного белого нормированного шума  на дискретный линейный фильтр с передаточной функцией

на выходе фильтра будет дискретный случайный процесс со спектральной плотностью, равной квадрату модуля передаточной функции:

.                                  (2.53)

Если  и  — полиномы, то спектральная функция (2.53) является рациональной. Сравнивая (2.53) с (2.52), видим, что дискретный процесс , порождаемый непрерывным случайным процессом  с рациональным спектром, можно получить, пропуская дискретный белый шум через дискретный линейный фильтр с рациональной передаточной функцией , удовлетворяющей условию  или

.                         (2.54)

Зная дробно-рациональную передаточную функцию , путем идентификации легко можно найти параметры рекуррентного алгоритма вида (2.2) для осуществления на ЦВМ дискретной фильтрации.

В этом и состоит суть рассматриваемого метода моделирования случайных процессов [77,101]. Подготовительная работа здесь включает в себя три этапа.

1. Нахождение спектральной плотности  (если она неизвестна) моделируемого процесса  по корреляционной функции  с помощью двустороннего дискретного преобразования Лапласа (2.51).

2. Факторизация спектральной функции , т. е. разбиение ее в соответствии с (2.53) на два сомножителя:

.                                 (2.55)

3. Преобразование передаточной функции  к виду (2.4):

с целью получения параметров  и  моделирующего рекуррентного алгоритма вида (2.2).

Последний этап сводится к простой нормировке путем деления числителя и знаменателя передаточной функции  на коэффициент при нулевой степени  в знаменателе. Более сложными являются первый и второй этапы.

На первом этапе требуется привести к замкнутому виду бесконечную сумму (2.51). Для этого можно использовать таблицу изображений функций в смысле дискретного преобразования Лапласа. Такие таблицы имеются, например, в [85]. Если таблицы содержат лишь односторонние преобразования Лапласа, то для получения двухстороннего преобразования можно использовать соотношение

,                                  (2.56)

где

                                           (2.57)

— одностороннее -преобразование корреляционной функции. Для нахождения изображения  корреляционную функцию , заданную в виде (2.50), в общем случае целесообразно представить в комплексной форме (2.49). Тогда ряд (2.51) разобьется на сумму рядов вида

,                     (2.58)

изображение которых ([85], стр. 899)

,                     (2.59)

,

где  — многочлены степени . Первые пять многочленов имеют вид ([85], стр. 159):

                   (2.60)

Остальные  можно найти, вычисляя специальный определитель или дифференцируя соответствующую производящую функцию [85].

Найдя изображения  и просуммировав их по  и , по формуле (2.56) получим спектральную плотность  в виде (2.52).

Наибольшие трудности встречаются на этапе факторизации. Факторизация спектральной функции  дискретного случайного процесса, так же как и факторизация спектральной функции  непрерывного процесса (§ 2.2), связана с нахождением корней полиномов, стоящих в числителе и знаменателе спектральной функции , и вытекает из следующей теоремы о разложении дробно-рациональных неотрицательных функций [30, 70]: всякая неотрицательная рациональная относительно  функция

                 (2.61)

может быть представлена в виде

,              (2.62)

где  и  - некоторые константы; при этом корни  — те из корней  в (2.61), которые по модулю больше единицы, и половина тех корней  которые по модулю равны единице, корни — те из корней  которые по модулю больше единицы.

Из теоремы следует, что для осуществления факторизации нужно найти корни  числителя  и  знаменателя  спектральной функции ; выбрать из них корни, модуль которых больше или равен единице, и взять их в качестве корней числителя и знаменателя искомой передаточной функции . Тогда

.

Множитель  выбирается из условия

.

Практически при использовании одностороннего -преобразования приходится определять лишь корни числителя, так как общий знаменатель в сумме (2.56) автоматически оказывается разложенным в произведение .

Рассмотрим порядок проведения подготовительной работы на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть требуется найти дискретную передаточную функцию формирующего фильтра для цифрового моделирования стационарного случайного процесса с рациональным спектром, корреляционная функция которого имеет вид

.                        (2.63)

Корреляционная функция соответствующего дискретного процесса равна

,                        (2.64)

где .

В дальнейшем, не нарушая общности рассуждений, положим , тогда . Запишем функцию  для  в комплексной форме:

Изображения  согласно (2.58)-(2.60) равны

Отсюда

               (2.65)

Следовательно, спектральная функция  в соответствии с (2.56) имеет вид

После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов получим

где

Знаменатель  представляет собой произведение двух сомножителей требуемой формы, т. е. в факторизации знаменателя нет надобности. Это всегда будет иметь место при использовании такой последовательности подготовительной работы.

Для факторизации числителя найдем его корни:

          (2.66)

В данном случае ввиду симметрии уравнения  анализ корней для уяснения величины их модуля не требуется, и в качестве корня  окончательного выражения вида (2.62) можно брать любой из корней . В этом можно убедиться, подставив в уравнение

                           (2.67)

вместо  значения корней из (2.66). Действительно, уравнение (2.67) обращается в тождество при

.

Таким образом, дискретная передаточная функция формирующего фильтра и рекуррентный алгоритм для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией  имеют соответственно вид

,

где

Заметим, что квадрат модуля передаточной функции , очевидно, не изменится, а следовательно, не изменится и корреляционная функция формируемого процесса, если знаки перед коэффициентами  и  изменить на обратные или же поменять коэффициенты  и  местами.

Пример 2. Рассмотрим теперь случайный процесс  с экспоненциальной корреляционной функцией:

.                          (2.68)

Эта корреляционная функция является частным видом корреляционной функции (2.64) при . Положив в формуле (2.65) , получим

.

Отсюда согласно (2.56) легко находим функцию спектральной плотности дискретного процесса :

.                                (2.69)

Следовательно, дискретная передаточная функция и рекуррентный алгоритм для цифрового моделирования случайного процесса с экспоненциально корреляционной функцией (2.68) имеют вид

.                  (2.70)

Из приведенного примера моделирования случайного процесса с экспоненциально-косинусной корреляционной функцией (корреляционная функция второго порядка) видно, что подготовительная работа для получения параметров рекуррентного алгоритма является довольно громоздкой. С увеличением порядка корреляционной функции объем вычислений еще более возрастает. Поэтому для моделирования случайных процессов с рациональным спектром подготовительную работу для распространенных типов корреляционных функций целесообразно проделать заранее [16]. Этот вопрос будет рассмотрен в § 2.6.