Глава первая. Моделирование сигналов и радиопомех

1.1. Постановка задачи

Математическими моделями радиосигналов, радиопомех и различных комбинаций сигналов и помех являются, вообще говоря, случайные функции времени (случайные процессы), которые можно представить в следующем достаточно общем виде:

,                       (1.1)

где  — непрерывное или дискретное время;  — функции со случайными параметрами;  — случайные процессы (шумы) с заданными свойствами;  — символ некоторого преобразования, зависящего в общем случае от времени.

Реализации (выборочные функции) случайного процесса являются детерминированными функциями

,

где  - реализации соответствующих случайных величин и случайных процессов;  — номер реализации.

Функции  со случайными параметрами являются разновидностью случайных процессов, отличающихся способом их задания. В дальнейшем будем их называть параметрически заданными случайными процессами в отличие от случайных процессов  заданных другими способами, например с помощью многомерных распределений, и называемых просто случайными процессами. Параметрически заданные случайные процессы, у которых случайные параметры  статистически  независимы между собой, будем называть непосредственно заданными случайными процессами.

Параметры  могут быть как непрерывными, так и дискретными случайными величинами; предполагается, что статистические характеристики их известны, т. е. известны плотности распределения вероятностей , в дальнейшем называемые также функциями плотности.

Преобразование  включает в себя операции, осуществляемые при различных видах модуляции, операции, описывающие взаимодействие сигналов и помех, например суммирование в случае аддитивной смеси, и т. д.

Практически любое колебание, наблюдаемое в некоторой точке радиотракта, может быть представлено в форме (1.1).

Целью моделирования радиосигналов и радиопомех является воспроизведение на ЦВМ случайных процессов вида (1.1), математически описывающих радиосигналы и радиопомехи.

Воспроизведение на ЦВМ случайных процессов с дискретным временем означает получение значений этих процессов, относящихся к соответствующим дискретным моментам времени.

Воспроизведение на ЦВМ процессов с непрерывным временем, строго говоря, невозможно ввиду дискретной природы цифровой машины. Однако процесс  с непрерывным временем можно с любой наперед заданной точностью заменить соответствующим процессом  с дискретным временем  (рис. 1.1), где  — определенный, разумно выбранный, шаг дискретизации процесса;  — целочисленный аргумент. В результате случайному процессу  будет поставлена в соответствие случайная последовательность , а его непрерывным реализациям  — дискретные реализации

Случайную последовательность , порождаемую случайным процессом  с непрерывным временем или же непосредственно изображающую случайный процесс и  с дискретным временем, будем называть дискретной (цифровой) моделью сигналов, помех или их комбинаций.

Задачу моделирования сигналов и помех сформулируем как задачу отыскания алгоритмов, позволяющих формировать на ЦВМ их дискретные реализации.

Рис. 1.1

Следует более подробно пояснить смысл этой задачи. Как уже отмечалось, сигналы и помехи являются случайными процессами, следовательно, задача их цифрового моделирования сводится к нахождению способов формирования на ЦВМ дискретных реализаций соответствующих случайных процессов. В современных электронных цифровых вычислительных машинах источником случайности являются датчики случайных чисел, позволяющие вырабатывать реализации независимых случайных чисел с одинаковым, обычно равномерным или нормальным, распределением. Последовательное обращение к такому датчику можно рассматривать как процесс формирования реализации стационарной последовательности независимых случайных чисел или, другими словами, реализации дискретного белого шума. Система независимых одинаково распределенных случайных величин и дискретный белый шум — это те две (а по существу, одна) довольно элементарные модели случайных процессов, реализации которых можно в настоящее время формировать на ЦВМ непосредственно. Для формирования на ЦВМ дискретных реализаций более сложных случайных процессов, входящих в математические модели радиосигналов и радиопомех, требуется разработка специальных алгоритмов, которые выражают дискретные реализации моделируемых процессов в виде некоторого доступного для осуществления на ЦВМ преобразования реализаций независимых случайных величин.

Таким образом, задача моделирования случайных сигналов и помех состоит в переходе от обычной формы задания случайных процессов (например, с помощью многомерных распределений) к такой форме задания, при которой дискретные реализации случайных процессов выражаются в явном (по возможности наиболее простом) виде через реализации независимых случайных величин (реализации дискретного белого шума). По-другому задачу моделирования случайных процессов, изображающих сигналы и помехи, можно сформулировать как задачу нахождения для этих процессов эквивалентных непосредственно заданных случайных процессов. Именно в этом смысле понимается в дальнейшем задача моделирования случайных процессов.

Ниже рассматриваются возможные способы решения этой задачи.