1. Метод огибающих. Комплексные линейные фильтры

Приведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих.

Согласно методу огибающих [31] комплексная амплитуда  сигнала на выходе узкополосной линейной системы выражается через комплексную амплитуду  входного сигнала следующим интегральным соотношением:

,                                  (3.83)

где  - комплексная огибающая импульсной переходной характеристики системы.

Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (интеграла Дюамеля). Простой вывод формулы (3.83) имеется в работе [88].

В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы и имеет лишь амплитудную модуляцию , а импульсная переходная характеристика системы не имеет фазовой модуляции , огибающие в выражении (3.83) будут вещественными:

.

В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем .

Следует отметить, что равенство (3.83) является приближенным. Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции  и  медленно меняются по сравнению с . Это условие выполняется, если ширина спектра колебания , ширина полосы пропускания линейной системы, на которую оно воздействует, и расстройка частоты входного сигнала по отношению к средней частоте системы малы по сравнению с частотой . Абсолютные значения полосы и расстройки роли не играют.

Если функции  и  имеют рассмотренные в § 3.2 односторонние или двусторонние ограничения по времени, то пределы в интеграле (3.83) будут иметь такой же вид, как и в интегралах (3.4) — (3.8). В частности, если  при  и узкополосная система физически осуществима ( при ), то

.                           (3.84)

Если же импульсная переходная характеристика системы имеет конечную длительность (или допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времени), то

,                          (3.85)

где  - длительность импульсной переходной характеристики.

Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет при линейных преобразованиях высокочастотных процессов оперировать лишь с их медленно меняющимися законами модуляции практически без потери точности и информации, заключенной в высокочастотных колебаниях. При этом несущая частота, не содержащая информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоит сокращение избыточности при использовании метода огибающих.

Комплексную свертку (3.83) можно рассматривать как описание поведения так называемого линейного комплексного фильтра [34, 43], преобразующего комплексный сигнал  в комплексный сигнал , при этом  — импульсная переходная характеристика комплексного фильтра. В операторной форме процесс комплексной фильтрации можно записать в виде

,

где  и  - изображения по Лапласу входного и выходного комплексных сигналов соответственно;  — передаточная функция комплексного фильтра [изображение по Лапласу функции ].

Комплексный сигнал  имеет вполне определенный физический смысл, если его рассматривать как пару вещественных сигналов:

,

представляющих собой вещественную и мнимую части комплексного сигнала (квадратурные компоненты сигнала).

Представляя выходной комплексный сигнал  и импульсную переходную характеристику  комплексного фильтра в виде квадратурных компонент, запишем формулу (3.83) в виде

.

Отсюда

             (3.86)

или в операторной форме

                    (3.87)

где  - изображения по Лапласу квадратурных компонент входного и выходного сигналов соответственно;  и  — передаточные функции линейных фильтров с импульсными переходными характеристиками  и  соответственно.

Огибающая и фаза колебания  выражаются через его квадратурные компоненты известными формулами

.

Система уравнений (3.87) легко приводится к матричной форме

.                   (3.88)

Из соотношений (3.86) — (3.88) следует, что комплексный фильтр является частным случаем двумерного линейного вещественного фильтра (см. § 2.8). Если в общем случае элементы передаточной матрицы

двумерного линейного фильтра могут быть произвольными, то элементы передаточной матрицы комплексного фильтра обладают свойством симметрии:

.

Структурная схема двумерного фильтра, эквивалентного комплексному фильтру, показана на рис. 3.4. Такой двумерный фильтр называется фильтром с антисимметричными прямыми перекрестными связями [43].

Рис. 3.4

В дальнейшем мы будем пользоваться в основном комплексной формой записи, переходя к вещественной лишь на последних этапах. Комплексная форма записи узкополосной фильтрации по методу огибающих предпочтительнее, чем матричная форма записи, так как первая полностью совпадает с обычной формой записи одномерной вещественной фильтрации. Использование ее позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на случай моделирования узкополосных линейных систем, описываемых по методу огибающих.