3.7. Оценка погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем

При приближенной замене непрерывных систем, дискретными системами возникает погрешность, в результате которой истинные значения  сигнала  на выходе непрерывной системы в точках  отличаются от вычисленных значений  на выходе дискретной системы. Ошибка , обусловленная дискретизацией, будет, вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации . В пределе при  процессы в непрерывной и эквивалентной дискретной системах совпадают. Однако при уменьшении шага дискретизации увеличивается объем вычислений, поэтому шаг  целесообразно выбирать как можно большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений.

В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала на выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Для использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускания системы. Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова будет величина ошибки при заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований.

В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях.

Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах [85, 109]). Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной переходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратическое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации.

Переходная характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по рекуррентным формулам вида (3.24) при  и нулевых начальных условиях, что легко осуществляется, например, с помощью настольной клавишной вычислительной машины. Для построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть использованы хорошо известные из теории линейных систем автоматического регулирования методы (см., например, [45]), в частности метод получения переходной характеристики путем отыскания оригинала изображения — , где  — передаточная функция системы.

Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практически можно выбрать следующим образом.

Строится последовательность переходных характеристик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два раза) значений шага дискретизации . После этого выбирается то значение , начиная с которого переходная характеристика практически не изменяется с уменьшением . В основу такого приема положен тот факт, что при  процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с процессами в непрерывной системе.

В качестве стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем [85]).

Нетрудно найти общую формулу для такого сравнения. Действительно, частотная характеристика непрерывной системы с передаточной функцией  есть . Частотная характеристика эквивалентной дискретной системы с передаточной функцией , как известно [85], получается из  путем замены  на , т.е.  при .

Функции  и  имеют аналогичный смысл: для непрерывных систем  означает то, что гармоническое колебание , поданное на вход системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реакцию ; для дискретных систем  означает то, что дискретная гармоника  на входе системы вызывает на выходе системы в установившемся режиме дискретную гармонику .

О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик

,                  (3.127)

которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармоники на выходе исходной непрерывной системы при одном и том же гармоническом воздействии с частотой  на входах обеих систем. В области частот, где

будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. Зная передаточную функцию  и ее дискретный эквивалент  при различных методах дискретной аппроксимации (§3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать погрешность дискретизации в частотной области. Примеры использования формулы (3.127) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего звена первого порядка даны в [85].

В некоторых работах [20, 26] оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок.

Ниже рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях даже более простые, чем при классических стандартных сигналах.

Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными параметрами с передаточной функцией  и импульсной переходной характеристикой , на вход которой воздействует стационарный случайный процесс  с энергетическим спектром .

Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой по схеме, представленной на рис. 3.1 (§ 3.2). К таким методам относятся метод  - преобразования (§ 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников (§ 3.2); метод Цыпкина—Гольденберга; метод Рагаззини—Бергена (§ 3.3).

Рис.3.10

Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется в результате неточного восстановления входного сигнала интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала  в этом случае можно рассматривать как выходной сигнал схемы, .показанной на рис. З.10, а, которая, очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.10, б. Ошибка  является результатом преобразования ошибки интерполяции входного сигнала  заданной линейной системой. Корреляционно-спектральные характеристики ошибки  при различных видах интерполяции стационарных случайных сигналов были найдены в § 1.7. Зная их, легко можно найти характеристики ошибки выходного сигнала.

Действительно, если  — энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала, то дисперсия искомой ошибки равна

,

где  - энергетический спектр искомой ошибки.

Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рассматриваемом случае равна

,

и используя формулу (1.42) для вычисления энергетического спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности выходного сигнала, возникающей в результате замены непрерывной линейной системы эквивалентной импульсной системой

,            (3.128)

где  - частотная характеристика интерполирующего фильтра;  — энергетический спектр дискретного случайного процесса .

Величину  целесообразно принять в качестве меры погрешности дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем. Формула (3.128) позволяет найти точное значение этой меры в виде зависимости от шага дискретизации , от метода дискретизации (характеризуемого типом передаточной функции  интерполирующего фильтра), от энергетического спектра  входного случайного сигнала и от передаточной функции  заданной непрерывной системы. К сожалению, это выражение является довольно громоздким. Однако имеется возможность найти более простые приближенные оценки величины .

Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным  (см. рис. 1.7, на котором сплошными линиями (0, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров  и пунктиром — частотная характеристика системы).

Тогда

,                       (3.129)

.                           (3.130)

Величина  может быть вычислена по формуле (1.44).

Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте  одинаковы и равны  (см. табл. 1.1), то согласно формуле (1.44)

.                  (3.131)

Из соотношений (1.129) — (1.131) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в [18]. Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или же равен нулю.

Дополнительное упрощение оценки величины  можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть  — отношение дисперсии ошибки интерполяции входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов  и  через заданную линейную систему отношение их дисперсий будет равно искомой величине . Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у процесса  доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, больше чем у процесса . При прохождении этих процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см. рис. 1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях

.                                   (3.132)

Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала , возникающая в результате замены непрерывной системы дискретной системой, не превышает относительной погрешности интерполяции входного сигнала . Величина  может быть найдена по формулам, выведенным в § 1.7, в частности по формулам (1.48).

Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем.

Пусть в качестве моделируемой системы задана некоторая линейная непрерывная следящая система с передаточной функцией . Если  и  — входной и выходной сигналы системы соответственно, то ошибка слежения будет равна . При замене непрерывной следящей системы эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна .

Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии  и  ошибок  и  при случайном стационарном входном сигнале.

Дисперсию ошибки  можно, очевидно, выразить в виде

.

Для вычисления дисперсии ошибки  можно воспользоваться формулой (1.42), если заменить в ней  произведением , т. е. заменить передаточную функцию интерполирующего фильтра передаточной функцией приведенной непрерывной части. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 3.11 и 1.6, на которых показаны схемы формирования ошибок  и  [на рис. 1.6 это ] соответственно.

Рис. 3.11.

Отношение искомых дисперсий будет равно

.        (3.133)

Величина  наряду с величиной  может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем.

Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений для оценки погрешности цифрового интегрирования стационарного экспоненциально-коррелированного случайного процесса . Корреляционная функция и энергетический спектр его, а также энергетический спектр соответствующего дискретного случайного процесса  выражаются формулами (1.47).

Величину интеграла

                                         (3.134)

можно рассматривать как величину сигнала  в точке , наблюдаемого на выходе непрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика и передаточная функция которой имеют соответственно вид

.                (3.135)

Вычисление интеграла (3.134) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполирующих фильтров. В частности, при использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции интерполирующих фильтров будут иметь вид, показанный в табл. 1.1 ('№ 1, 2, 3). В результате дискретизации вычисленное значение  интеграла (1.134) будет отличаться от его истинного значения .

Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения (3.129)—(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрирования случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования  в несколько раз больше времени корреляции процесса . Это означает, что полоса пропускания системы с передаточной функцией (3.135) существенно меньше ширины спектра входного сигнала  и тем более меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала (§ 1.7, рис. 1.7). В таком случае согласно формулам (3.129), (3.131) дисперсия ошибки цифрового интегрирования (дисперсия разности ) не зависит от типа интерполирующего фильтра (т. е. метода интегрирования) и равна

.

Отсюда, используя выражения (1.47) и (3.135), легко получим

.                                    (3.136)

Дисперсия самого интеграла (1.134) равна

.

В рассматриваемом случае , следовательно,  и

.                               (3.137)

Используя (3.136) и (З.137), относительную среднеквадратическую погрешность цифрового интегрирования можно выразить в виде

,                  (3.138)

где  — безразмерный параметр, равный отношению времени интегрирования ко времени корреляции случайного процесса (на уровне ).

При малых  выражение (3.138) принимает вид

.                                     (3.139)

Рассмотрим численный пример. Пусть  (при этом коэффициент корреляции между соседними дискретами входного сигнала равен 0,5) и .

Согласно (3.138) и (3.139) получаем соответственно  и . Видим, что формула (3.139) дает несколько завышенный результат. Сравнивая эти результаты с результатами § 1.7, убеждаемся, что относительная погрешность цифрового интегрирования значительно меньше относительной погрешности интерполяции входного сигнала [формула (1.48)].

Заметим, что данный численный пример рассматривался в работе [13], где иным методом получена формула оценки погрешности цифрового интегрирования случайных процессов. Сравнение численных результатов показывает полное их совпадение.

В заключение этого параграфа необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратическую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию. В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой [формулы (3.129) — (3.132), (3.136) — (3.139)], что существенно облегчает их практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими.

При решении практических задач методом цифрового моделирования рассмотренные выше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление о величине погрешности результатов, чем конкретную ее величину, так как практически решаемые задачи содержат обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линейные преобразования.

Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, обладающую требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизации выбирается ориентировочно, исходя из данных выше оценок. Окончательно шаг дискретизации выбирается при реализации цифровой модели на ЦВМ путем проведения нескольких пробных решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два раза, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном шагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации.

В некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно производить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 4.2.