6.2.2. Диаграмма направленности

В идеальном случае формирователь луча должен пропускать компоненты сигнала с вектором замедленности  и подавлять все остальные компоненты. На практике этого достичь невозможно. Диаграмма направленности, выведенная ниже, показывает, насколько можно приблизиться к этому идеалу. Предположим, что луч направлен по , так что задержки приемников определяются выражением (6.11). Пусть, далее, пространственно-временной сигнал  является плоской волной, распространяющейся в различных направлениях . Тогда

.                           (6.12)

Выход формирователя луча будет описываться выражением

           (6.13)

Функция

                    (6.14)

называется диаграммой направленности (решетки). Очевидно, она является преобразованием Фурье весовой функции приемника  с учетом положения приемников . Диаграмма направленности  показывает величину ослабления плоской волны, распространяющейся с вектором замедленности , или, что эквивалентно, с волновым вектором , когда луч наведен в направлении, параллельном вектору .

В более общем случае сигнал  содержит большое количество компонент плоских волн с различными временными частотами и направлениями распространения. Как и раньше, мы можем использовать спектр по волновому числу и частоте , записав состав этого сигнала в следующем виде:

.

Далее, подставив это представление в выражение (6.10), мы получим, что выход формирователя луча можно записать следующим образом:

.                          (6.15)

Наконец, используя определение диаграммы направленности, можно преобразовать (6.15) к виду

.                                                           (6.16)

Это выражение представляет собой широкополосный отклик [4] формирователя луча по методу взвешенного сложения с задержкой. Оно показывает, как ослабляются различные компоненты плоских волн до их суммирования, образующего выходной сигнал формирователя.

Рассмотрим частный случай, когда все компоненты  распространяются в одном направлении. Тогда

,                                        (6.17)

где  - некоторая функция, описывающая форму сигнала. Спектр по волновому вектору и частоте описывается выражением

,                          (6.18)

где  - преобразование Фурье функции , а  - трехмерная импульсная функция. Подставляя (6.18) в (6.16), получим

        (6.19)

Если распространяющаяся волна  пересекает решетку точно в том направлении, для которого был создан формирователь луча, то  и

.                                (6.20)

В этом случае формирователь луча не искажает формы волны сигнала.

Если , величина аргумента  в выражении (6.19) линейно растет с частотой. В этом случае высокочастотные компоненты волны, как правило, будут ослабляться сильнее низкочастотных. Понять, почему это происходит, можно, проанализировав рис. 6.3, на котором дан вид сверху на плоскость . (В иллюстративных целях мы опять пренебрегаем переменной .) Поскольку предполагается, что все компоненты сигнала распространяются с одной и той же скоростью  то они лежат на конусе  пространства . Все компоненты сигнала с одной и той же частотой на этом конусе будут проектироваться на окружность в плоскости . Таким образом, на этом рисунке частота измеряется в единицах расстояния от начала координат, умноженных на скорость . Если диаграмма направленности  такова, что ее значение близко к единице только тогда, когда величина ее аргумента мала, а в остальных случаях она близка к нулю, то основной лепесток диаграммы направленности занимает заштрихованную область на рисунке, ограниченную линиями, параллельными линии . Если приходящий сигнал направлен по лучу , то, как видно из рисунка, все частоты лежат в основном лепестке луча. Однако, если , мы видим, что высокочастотные компоненты вдоль линии  выпадают из полосы пропускания формирователя луча. Следовательно, широкополосные сигналы, проходящие через решетку в направлении, отличном от направления наведения, подвержены искажениям, аналогичным тем, которые происходят при низкочастотной фильтрации.

Рис. 6.3. Проекция -пространства на плоскость , показанная для демонстрации эффекта низкочастотной фильтрации луча, не совпадающего с направлением наведения.

Выражение (6.16) можно также интерпретировать как многомерную фильтрацию. Чтобы показать это, выпишем еще раз выражение (6.7)

.

Применив к этому выражению теорему о свертке, получим

.               (6.21)

Если определить выходной сигнал формирователя луча в виде

,                                                                                            (6.22)

то, сравнивая уравнения (6.16) и (6.21), можно сделать вывод, что эффективный частотный отклик определяется выражением

.                                                                              (6.23)

Диаграмма направленности, вычисленная при , является комплексной амплитудой частотного отклика фильтра, использованного для обработки пространственно-временного сигнала .