Упражнения

7.1. Найдите оператор ограничений  для каждого из следующих наборов последовательностей:

а)      набора последовательностей конечной протяженности с опорной областью, ограниченной некоторой областью ;

б)      набора последовательностей с ограниченным частотным диапазоном, преобразование Фурье которых имеют ненулевое значение только в некоторой области ;

в)      набора ограниченных последовательностей, удовлетворяющих условию  для всех .

7.2. Рассмотрим простую итерацию вида

для случая

.

а)      Выведите выражения для ,  и , если .

б)      Какие условия надо наложить на  и , чтобы итерации сходились?

в)      К какой последовательности  будут сходиться итерации?

7.3. Пусть  является оператором, используемым в итерации

.                                              (У7.3а)

Оператор  называется стягивающим отображением (или просто стягиванием), если

 при

для любых  и , для которых  и  конечны. Норма  последовательности определяется следующим образом:

.

Если это неравенство выполняется только для , оператор называют нерасширяющим. Если  - стягивание, то итерация, согласно уравнению (У7.3а), сходится к единственному решению при любом выборе начальной последовательности с конечной нормой .

а)      Рассмотрим итерацию

.               (У7.3б)

Покажите, что итерация сходится, если оператор  является стягиванием, а  - тождественным оператором. (Указание. Найдите оператор  и потребуйте, чтобы он являлся оператором стягивания.)

б)      Используя результат п. «а», покажите, что итерация, согласно равенству (У7.3б), сходится, если

(1)    является стягиванием, а  является нерасширяющим оператором;

(2)    является нерасширяющим оператором, а  является стягивающим;

(3)   как , так и  являются стягивающими операторами.

7.4. В разд. 7.1.1 было показано, что итерацию Ван Циттерта для обращения свертки без условий ограничения можно рассматривать как разностное уравнение первого порядка по  с коэффициентами, являющимися функциями .

а)      Где находится «полюс» этого разностного уравнения? Какое значение  дает максимальную скорость сходимости, если .

б)      Используя аналогию с разностными уравнениями, можно построить итерацию второго порядка, которая дает новую оценку неискаженного сигнала, используя обе предыдущие оценки. Эта итерация имеет вид

.

Какими условиями должны быть связаны ,  и , если потребовать

, , ?

7.5. Итерация Ван Циттерта сходится, если

.              (У7.5)

Это условие накладывает жесткие ограничения на допустимые значения, которые может принимать функция .

а)      Начертите область комплексной -плоскости, описываемую неравенством (У7.5) для .

б)      Параметр  может быть выбран самим пользователем. Покажите, что если , то всегда можно найти такое , чтобы выполнялось условие (У7.5).

7.6. В упр. 7.3 был определен нерасширяющий оператор.

а)      Покажите, что оператор ограничений, обеспечивающий конечную опорную область, является нерасширяющим.

б)      Покажите, что оператор положительности является нерасширяющим.

в)      Альтернативным вариантом оператору положительности, приведенному в тексте, является оператор , определяемый следующим образом:

.

Покажите, что этот оператор тоже является нерасширяющим.

7.7. В качестве еще одного возможного подхода к решению задачи нахождения входа  по заданному выходу  (рис. У7.7) рассмотрим решение для последовательности , минимизирующее функционал

.

Рис. У7.7.

Это решение можно найти итерационным способом, используя метод быстрого спуска.

Согласно этой процедуре

.

а)      Запишите выражения для каждой итерации, выразив градиент в явном виде.

б)      Чем эта итерация отличается от итерации согласно соотношениям (7.9)?

в)      Двигаясь в обратном направлении, можно считать, что равенства (7.9) эквивалентны операции минимизации функционала методом быстрого спуска. Каков исходный функционал? [Примите, что . ]

7.8. Соотношение, связывающее вход и выход одномерной линейной не инвариантной к сдвигу системы, описывается суперпозицией в виде следующей суммы:

.

Если  и  - последовательности конечной протяженности, их можно записать в векторном виде, а сумма, описывающая суперпозицию, примет вид

.

Если размер  равен размеру , то можно восстановить сигнал , используя матричную итерацию

.

а)      Найдите выражения для ,  и , если .

б)      Каким должен быть множитель , чтобы обеспечить сходимость итерации? Всегда ли можно найти такое ? (Рассмотрите разложение  по собственным векторам.)

в)      Решая п. «б», вы должны были обнаружить, что есть такие , для которых итерация не сходится. Измените итерацию таким образом, чтобы она сходилась для любых , имеющих ненулевые собственные значения.

7.9. Итерация для восстановления сигнала  по его фазе была описана в разд. 7.1.3 следующим образом:

,

,

где  и  - операторы прямого и обратного преобразований Фурье соответственно;  - оператор ограничений в пространственной области и

,

а)      Покажите, что оператор  является нерасширяющим, если нерасширяющим является оператор  (определение нерасширяющего оператора дано в упр. 7.3).

б)      Если, напротив, мы хотим восстановить сигнал  по его амплитуде, то необходимо использовать оператор

.

Покажите, что в этом случае оператор  не обязательно является нерасширяющим.

7.10.      Пусть  - акустическая сейсмическая волна, распространяющаяся вверх сквозь землю с одинаковой во всех точках скоростью . Определим частичное преобразование Фурье волнового фронта в виде

.

а)      Найдите выражение для частичного преобразования Фурье функции  через , где  - частичное преобразование Фурье волны . Ваше выражение не должно содержать никаких интегралов.

б)      Выведите подобное же выражение для .

в)      Гиперболическое волновое уравнение требует, чтобы выполнялось соотношение

.

Преобразуйте это уравнение в частных производных в обычное дифференциальное уравнение, осуществляя частичное преобразование Фурье обеих частей уравнения.

7.11. Покажите, что следующие передаточные функции соответствуют фазовым системам (т. е. амплитуда их преобразования Фурье постоянна):

а)      ,

где

и  - вещественные величины.

б)      ,

где

и  - действительные величины, причем .

7.12.

а)      Найдите одномерную проекцию двумерного однородного кругового диска с радиусом .

б)      Каким будет непрерывное преобразование Фурье этой проекции?

7.13. Выведите следующее свойство двумерного непрерывного преобразования Фурье: если объект поворачивается на угол , то его спектр Фурье поворачивается на тот же угол .

7.14.      Двумерная аксиально-симметричная функция полностью определяется ее сечением, либо ее проекцией. Фактически эти две одномерные функции можно определить одну из другой. Брэйсвелл [26] называет эту взаимосвязь преобразованием Абеля.

а)      Выведите интегральное уравнение, описывающее проекцию через поперечное сечение.

б)      Выведите интегральное уравнение, описывающее поперечное сечение через проекцию.

7.15. Покажите, что неизвестный, но разделимый сигнал

можно точно восстановить по двум проекциям. Как следует выбирать углы проекции?

7.16. Изменяя частоту дискретизации в различных проекциях, можно менять положение тех точек, для которых в соответствующих проекциях вычисляются преобразования Фурье. Какой должна быть дискретизация проекций, чтобы получить эллиптический растр, показанный на рис. У7.16?

Рис. У7.16.

7.17.      При фильтрации проекций в случае реализации дискретного алгоритма обратной проекции теряется информация о среднем уровне постоянной составляющей восстанавливаемого сигнала. Одним из способов восстановления этого среднего уровня является простое прибавление постоянного сигнала к результату восстановления так, чтобы исходный и восстановленный сигналы имели одинаковое среднее значение. Как определить средний уровень постоянной составляющей неизвестного сигнала по его проекциям?

7.18. Рассмотрим двумерный массив конечной протяженности , где , .

,

[т. е. отсчет  имеет величину , отсчет  - величину  и т. д.]. Определите одномерную проекцию при следующих ориентациях:

а) , , б) , ,

в) ,  и приведите порядок меченых отсчетов .

7.19.      Рассмотрим проекцию трехмерного -точечного сигнала на одномерную последовательность, определяемую соотношением

,

, , .

а)      Выразите отсчеты одномерного -точечного ДПФ последовательности  как отсчеты . Где расположены эти отсчеты?

б)      Модифицированное трехмерное ДПФ можно определить с помощью отсчетов , если эта трехмерная последовательность отображается согласно равенству

,

, , .

Найдите матрицу периодичности, определяющую ДПФ и связывающую  и .

7.20. Проецирование двумерного дискретного сигнала является частным случаем линейного преобразования с понижением размерности. Линейное преобразование с понижением размерности - это преобразование отсчетов -мерного сигнала  конечной протяженности в -мерный сигнал   с помощью отображения вида

,

где  - матрица . Как связано преобразование Фурье  сигнала  с преобразованием Фурье  сигнала ?