2.5. Взаимосвязь между M-мерными и одномерными ДПФ

Если одномерное ДПФ является частным случаем -мерного ДПФ, то -мерное ДПФ в свою очередь может рассматриваться как частный случай одномерного ДПФ. Как ни парадоксально звучит это утверждение, его нетрудно понять, поскольку ДПФ - это просто переход от одного набора чисел к другому. Организованы ли эти числа в одну строку и обозначены одним индексом или они организованы в виде множества с несколькими индексами, зависит от нас; выбор между тем или другим представлением в общем случае определяется соображениями удобства. В этом разделе мы исследуем ту размытую область, в которой одномерное и -мерное представления смешиваются. Сначала рассмотрим - мерное ДПФ, которое в самом деле является одномерным ДПФ, а затем интерпретацию одномерного ДПФ как -мерного ДПФ.

2.5.1. Кусочные ДПФ [8]

Преобразование Фурье дискретного сигнала конечной протяженности с прямоугольной опорной областью описывается выражением

.                                (2.146)

Это двумерный тригонометрический полином степени  по переменной  и степени  по переменной . Двумерное ДПФ состоит из множества  независимых отсчетов этого полинома; изменяя матрицу периодичности , мы можем изменять положение этих отсчетов.

Особенно интересное множество отсчетов преобразования Фурье возникает при использовании матрицы периодичности

,                                                                                                        (2.147)

которая определяет дискретизацию преобразования Фурье в точках

;                  ,   .              (2.148)

Это множество представлено на рис. 2.17. Видно, что отсчеты лежат на одной прямой в Фурье-плоскости, составляющей угол  с осью  и обрывающейся через несколько периодов . Однако, если принять во внимание лежащую в основе преобразования Фурье периодичность, эти отсчеты можно считать лежащими на множестве  отрезков параллельных прямых. Тем самым эти отсчеты одновременно являются отсчетами двумерного преобразования Фурье и отсчетами одномерной функции.

Рис. 2.17.

а - отсчеты двумерного преобразования Фурье, соответствующие «кусочному» ДПФ; б - периодическое дополнение , использованное для получения «кусочного» ДПФ.

Обозначая эти отсчеты ДПФ, которое мы будем называть «кусочным», одним индексом , получим

, .      (2.149)

Если обозначить новую переменную  через

,                                                            (2.150)

то поскольку  принимает значения от 0 до , а  от 0 до , то  будет пробегать значения от 0 до . Далее, любое значение  в этом промежутке связано с единственной упорядоченной парой . Тем самым можно однозначно определить последовательность

                                         (2.151)

и признать, что  и  образуют одномерную пару ДПФ

.                                                                (2.152)

Поскольку последовательность  имеет конечную протяженность, ее можно восстановить из  единственным образом. По существу, одномерная, последовательность является сцеплением  столбцов двумерной последовательности . Следовательно, если столбцы двумерной последовательности сцеплены таким образом, что образуют одномерную последовательность, а затем вычисляется одномерное ДПФ этого сцепления, результирующие значения одномерного ДПФ можно интерпретировать как отсчеты двумерного преобразования Фурье на наборе отрезков параллельных прямых.

Можно непосредственно распространить это ДПФ на сигналы более высокой размерности. Рассмотрим -мерный сигнал, который принимает ненулевые значения только при , . Можно построить одномерный сигнал, приняв, что

,                                         (2.153)

где

.             (2.154)

Тогда, так же как и в двумерном случае,

,  (2.155)

что определяет отсчеты -мерного непрерывного преобразования Фурье в точках

, , …, , .               (2.156)