4.1.3. Граничные условия

До этого момента почти не говорилось о граничных (начальных) условиях, принималось лишь, что эти условия в случае необходимости можно получить в удобном виде. На самом деле здесь нужно проявить осторожность: нельзя выбирать произвольно граничные условия, если мы хотим иметь линейную инвариантную к сдвигам систему. Например, если известно, что система линейна, она удовлетворяет условию

                                                        (4.7)

при всех значениях параметра , включая . Это означает, что откликом на нулевой входной сигнал будет нулевой выходной. Начальные условия нельзя выбрать так, чтобы нарушалось это условие, а система оставалась линейной. Единственное явное значение, которое можно приписать граничным условиям линейной системы, - это нулевое значение.

Если задано, что линейность требует равенства нулю всех граничных значений, то где должны быть расположены эти отсчеты? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к свойству инвариантности системы к сдвигу. Рассмотрим в качестве простого примера неустойчивое разностное уравнение

.                    (4.8)

Результаты фильтрации пары идентичных входов с двумя различными наборами граничных условий показаны на рис. 4.8 и 4.9. В части а каждого рисунка представлены использованные граничные условия, в части б - отклик на вход  и в части в - отклик на вход . Из анализа этих рисунков можно сделать несколько важных выводов. Во-первых, несмотря на то, что применялось одно и то же разностное уравнение, различные граничные условия привели к весьма различным выходным сигналам. Во-вторых, граничные условия рис. 4.8 не позволили получить систему, инвариантную к сдвигам, а условия на рис. 4.9 к такой системе приводят. В чем разница между этими двумя случаями?

Рис. 4.8.

а - набор граничных условий, используемый в разностном уравнении (4.8); б - отклик на ; в - отклик на .

Рис. 4.9. а - другой набор граничных условий, используемый в разностном уравнении (4.8); б - отклик на , в - отклик на .

Если полная система линейна и инвариантна к сдвигам, то выходная последовательность  должна быть сверткой входной последовательности и импульсного отклика системы. Опорную область этого выхода системы, которая определяется сверткой, можно найти с помощью методов, рассмотренных в гл. 1. Если обозначить  опорную область , то

, .             (4.9)

Это выражение показывает, как следует выбирать граничные условия. Если они выбраны так, что обращают некоторые отсчеты внутри  в нуль, как на рис. 4.8, в то время как свертка дает значения этих отсчетов, отличные от нуля, то система становится неинвариантной к сдвигу.

Для фильтров конечного порядка достаточно определить граничные условия в зоне конечной ширины, имеющей форму буквы , Зона граничных условий должна быть вне области , в то время как точное значение ширины зоны и ориентация буквы  зависит от формы выходной маски. Для несимметричной полуплоскостной выходной маски инвариантность к сдвигу требует, чтобы зона граничных условий была подобна той, что показана на рис. 4.6, т. е. она должна очерчивать тупой угол, примыкающий к началу координат. Даже при фильтрации последовательности, расположенной в первом квадранте, нужно вычислять отсчеты выходной последовательности во втором квадранте, как это сделано на рис. 4.9. Это одна из причин ограниченного использования НПП-фильтров.

В некоторых случаях ненулевые граничные условия могут быть очень полезны, и мы не утверждаем, что их не следует применять вообще. Однако в случае их применения следует помнить, что результирующая система не будет ни линейной, ни инвариантной к сдвигу.