4.2.5. Обратное z-преобразование

Как и в одномерном случае, двумерное -преобразование может быть обращено с помощью формулы, имеющей вид контурного интеграла

.                    (4.59)

Каждый интеграл вычисляется по контуру, который должен быть замкнут, лежать полностью в области сходимости  и обходить начало координат против часовой стрелки в плоскости, соответствующей переменной.

В качестве примера рассмотрим вычисление обратного -преобразования передаточной функции

,                                                                       (4.60)

где  и область сходимости включает двумерную единичную поверхность, по которой выполняется интегрирование. В этом случае

.        (4.61)

Выполним сначала интегрирование по . При этом  можно рассматривать просто как параметр. Этот интеграл является обратным одномерным -преобразованием с простым полюсом при . Поскольку контур интегрирования соответствует , , то можно показать, что  и, следовательно, полюс находится внутри контура интегрирования. Применяя теорему Коши о вычетах, получим, что

.                      (4.62)

[Последовательность  является одномерной ступенчатой функцией, рассмотренной в гл. 1.] Интеграл по области  можно рассматривать как обратное -преобразование одномерной системы с полюсом порядка  при , который лежит внутри контура интегрирования. Применяя еще раз теорему о вычетах, получаем окончательный результат:

.                            (4.63)

Хотя пример был достаточно простым, процедура вычисления оказывается довольно запутанной. Для более сложных передаточных функций становится крайне трудно, если вообще возможно, вычислить обратное -преобразование в явном виде. В одномерном случае проблему обращения передаточной функции высокого порядка можно решить с помощью разложения на составляющие множители и последующего выражения обратного -преобразования в виде суммы простых компонент. Это невозможно в многомерном случае, если нельзя разложить полином на множители. По этим причинам обратное -преобразование многомерных передаточных функций почти никогда не вычисляется аналитически. Если передаточная функция и ее область сходимости соответствуют рекурсивно вычислимому разностному уравнению, то из передаточной функции можно вывести разностное уравнение и с его помощью получить численное представление импульсного отклика как отклика на единичный импульс .