5.2.3. Усечение, граничные условия и ограничения сигнала [4]

Оператор ПАМЯТЬ на рис. 5.7, который должен хранить весь сигнал, имеет конечную емкость. Однако по мере продолжения итераций протяженность сигнала  растет. В какой-то момент она превысит имеющийся объем памяти, и информация, необходимая для последующих итераций, будет потеряна.

Поэтому возникает естественный вопрос: как повлияет на конечный результат усечение оценки сигнала на каждой итерации? Рассмотрим более простое итерационное выражение (5.16). Для входного сигнала  можно (в принципе), используя это выражение, найти сигнал , удовлетворяющий неявному соотношению (5.15), которое для удобства приводится еще раз:

.               (5.46)

Из-за ограниченной емкости оператора ПАМЯТЬ в действительности выполняется итерация

,   (5.47)

где функция  равна функции  в пределах некоторой области  и равна нулю вне этой области. Можно доказать [4], что существует сигнал , который удовлетворяет следующему соотношению:

.                    (5.48)

Разность между функциями  и  составляет ошибку усечения. Определив сигнал ошибки в виде

,                                                                  (5.49)

можно получить неявное выражение для , воспользовавшись тем, что оператор усечения линеен, дистрибутивен по отношению к сложению и идемпотентен :

            (5.50)

Таким образом, в области  сигнал ошибки удовлетворяет выражению

 для .                           (5.51)

Вне области  сигнал ошибки просто равен , поскольку .

Сигнал ошибки  можно получить итеративным путем с учетом граничных условий, а именно:

                                 (5.52)

Это выражение можно рассматривать как частный случай более общего итерационного выражения

                   (5.53)

где  - -я оценка выходного сигнала;  - входной сигнал, а  представляет граничные условия. Граничные условия определены в области , которая в общем случае охватывает область , как это показано на рис. 5.8. Ширина области зависит от пространственной протяженности множества коэффициентов . Вообще говоря, область  должна быть достаточно широкой, чтобы вместить множество , когда функция  вычисляется для значений , находящихся на краях области .

Рис. 5.8. В общем случае область  охватывает область  в -плоскости. Ширина области  зависит от протяженности последовательности коэффициентов .

Поскольку , можно показать, что  - решение итерационного уравнения

                   (5.54)

Таким образом, несмотря на эффекты усечения, истинный сигнал по-прежнему можно вычислить, если известны его значения вне области . [Если требуется получить ответ только внутри области , то значения  должны быть известны лишь в области , а не вне области  .]

Для демонстрации использования граничных условий с целью уменьшения эффектов усечения рассмотрим очень простой одномерный пример. Пусть итерационное уравнение

              (5.55)

имеет решение

.                                                                           (5.56)

Параметры  и  связаны с константой  следующим образом:

,                 .                                         (5.57)

На рис. 5.9,а показана функция  для случая . Предположим теперь, что имеет место усечение, так что выражение (5.55) принимает вид

                       (5.58)

На рис. 5.9,б показаны значения , полученные итерированием (5.58) до получения сходимости. Разность  представлена на рис. 5.9,в.

Рис. 5.9.

а - истинное решение; б - решение с усеченной итерацией; в - сигнал разности для простой итерационной реализации.

Истинные значения  можно получить, используя усеченную итерацию, если ввести корректирующие граничные условия в точках , а именно: . Для иллюстрации процесса сходимости к истинному решению на рис. 5.10 показан выходной сигнал после  и  итераций.

Рис. 5.10. Получение истинного решения  с усеченной итерацией, используя граничные условия. а - 2 итерации; б -10 итераций; в - 20 итераций; г - 50 итераций.

В процесс итераций можно также включить ограничения, накладываемые на сигнал, хотя этот вопрос детально мы рассматривать не будем. Наложение граничных условий можно рассматривать как наложение на выходной сигнал одного из видов ограничения. В некоторых приложениях заранее может быть известно, что на истинный выходной сигнал наложены ограничения другого рода, например что сигнал должен быть строго положителен или иметь ограниченную полосу. В таких случаях использование оператора ограничения на каждой итерации обеспечивает соответствие выходного сигнала, если он существует, этим условиям. (В гл. 7 ограничения сигнала обсуждаются в связи с итерационными алгоритмами решения обратных задач.)