5.4. Методы синтеза в пространственной области

В этом разделе мы рассмотрим несколько способов синтеза двумерных БИХ-фильтров, основанных на минимизации функционалов ошибки в пространственной области. В общем случае цель состоит в определении коэффициентов  и  двумерного рекурсивного фильтра так, чтобы отклик фильтра  на определенный входной сигнал  был хорошей аппроксимацией некоторого определенного требуемого выходного сигнала . Обычно в качестве определенного входного сигнала берется дельта-функция , так что  является требуемым импульсным откликом. Однако в том или ином конкретном случае может оказаться удобнее выбрать в качестве  другой сигнал, например единичную ступеньку или единичную наклонную плоскость.

Способы синтеза в пространственной области полезны в тех случаях, когда в конкретном приложении требуется синтезировать фильтр, отклик которого на определенный входной сигнал аппроксимирует заданную функцию. В других случаях, когда характеристики фильтра определены в частотной области, более полезны методы, описанные в разд. 5.5.

При аппроксимации в пространственной области чаще всего используется среднеквадратичная норма ошибки, отличающаяся простотой выполнения математических операций, хотя, безусловно, возможно и применение других норм ошибки. Среднеквадратичная ошибка  обычно определяется следующим выражением:

.                                        (5.71)

(Мы предполагаем, что  и  являются сигналами с вещественными значениями.) Используя теорему Парсеваля, можно показать, что  совпадает со среднеквадратичной ошибкой в частотной области

.                   (5.72)

Важность этого соотношения состоит в том, что зависимость функции  от параметров фильтра  и  легче описать в частотной области

,                                                 (5.73)

где

              (5.74a)

и

.             (5.74б)

В большинстве алгоритмов синтеза предполагается, что опорной областью , , ,  и  является первый квадрант. Хотя мы сделаем аналогичное предположение, ясно, что можно было бы использовать и другие опорные области. Более серьезное допущение связано с выбором пределов суммирования в выражении (5.71). Чтобы суммирование можно было осуществить практически, оно должно выполняться в конечных пределах. Однако если область суммирования достаточно велика, то ошибки вне этой области (для устойчивого фильтра) будут незначительны.

Теоретический минимум ошибки  можно найти, приравнивая нулю ее частные производные по параметрам . Прежде всего определим сигнал ошибки:

.                                                     (5.75)

Тогда

 и, следовательно,                                         (5.76)

.             (5.77а)

Аналогично

.                                        (5.77б)

Частные производные в правой части уравнений (5.77) можно получить следующим образом. Предположив, что все рассматриваемые сигналы и коэффициенты имеют опорные области, ограниченные первым квадрантом, можно выразить  с помощью рекурсивного соотношения

                   (5.78)

[приняв ]. Тогда можно непосредственно получить [10] рекурсивные соотношения для  и :

,               (5.79a)

.                 (5.79б)

Эти рекурсивные вычисления начинаются с нулевыми начальными условиями. Кроме того, можно показать, что частные производные связаны друг с другом соотношениями

Таким образом, нужные частные производные можно численно определить с помощью двух рекурсивных соотношений.

Аналитическое решение уравнений для нахождения значений коэффициентов , минимизирующих , в общем случае невозможно. Поэтому мы вынуждены рассмотреть алгоритмические методы минимизации . В последующих разделах детализируются три алгоритма, используемые при проектировании двумерных БИХ-фильтров с помощью критерия ошибки в пространственной области.