АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Арифметической прогрессией называют последовательность , у которой каждый член, начиная со второго, больше (или меньше) предыдущего на постоянное (для данной прогрессии) число . Число  называют разностью арифметической прогрессии. Другими словами, арифметическая прогрессия – это последовательность, заданная по правилу:  и  даны,  при .

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов:

.

Это отражено в названии последовательности: арифметическая прогрессия. Верно и более общее свойство:

 при .

Справедливы следующие формулы (через  обозначена сумма первых  членов арифметической прогрессии):

,                 (1)

,                      (2)

.                     (3)

С формулой (3) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:

».

Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна .

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами (см. Фигурные числа), вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа:

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты (см. Магические и латинские квадраты). Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны (рис. 1). Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия».

Рис. 1