РАССТОЯНИЕ

Расстоянием между двумя точками  и  плоскости (или пространства) называется длина отрезка ; если выбрана единица измерения, то расстояние будет неотрицательным числом, которое обозначается так: , или , или просто . По определению .

В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками  и  на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг  окружности большого круга (проходящего через точки  и ). Расстояние между  и  также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта  в пункт . Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в справочник Аэрофлота), получится примерно 2100 км. В железнодорожном справочнике указано другое число: 3895 км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, потому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по-разному.

Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.

Пусть каждым двум элементам ,  множества  по некоторому правилу сопоставлено число , при этом выполнены три условия:

1)  тогда и только тогда, когда ;

2)  для любых двух  и ;

3)  для любых трех элементов  из .

Множество , снабженное такой функцией , называется метрическим пространством. Свойство (3) для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол  трехгранного угла  меньше суммы двух других плоских углов  и  (рис. 1).

Рис. 1

Отправляясь в путешествие, мы часто вынуждены иметь дело с таким «расстоянием»:  - это наименьшая стоимость проезда из пункта  в пункт . Неравенство треугольника здесь очевидно: чтобы добраться из  в , мы можем сначала доехать от  до , а потом - от  до  (заплатив за это  рублей); поэтому стоимость  самого дешевого маршрута из  в  не больше суммы . Можно ввести и другое «расстояние» между  и . В любом конечном графе расстоянием между двумя вершинами можно считать наименьшее число ребер в пути, соединяющих эти вершины.

Расстояние между двумя точками  и  числовой прямой  равно . В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками  и  выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:

.

Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками  и :

.

На одном и том же множестве  можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками  и  можно принять  или  - наибольшее из двух чисел , .

Расстояние можно определять не только между точками. Так, расстоянием от точки  до прямой  (или до плоскости в пространстве) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую  (на плоскость ). Вообще, расстоянием от точки  до фигуры  называется наименьшее из расстояний от этой точки до точек фигуры . Иногда используют аналогичное определение расстояния между двумя непересекающимися фигурами; в частности, расстоянием между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми (рис. 2) считается длина перпендикулярного обеим прямым отрезка с концами на этих прямых - наименьшее из расстояний между точками двух прямых.

Рис. 2