УГОЛУгол
- самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если
в плоскости из точки
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3 Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя.
Рис. 4 Конечно,
это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как
выполняется трисекция угла
Рис. 5 Большое
значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла.
Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели
одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором
углы измеряются в градусах (по определению угол в 1°
- это
В частности,
(В
последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают,
основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.)
Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении
числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении
вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью
тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера
используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с
транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на
местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит).
Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой Углы,
меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие
развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и В
планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они
имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и
минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки
Рис. 6 Чтобы
сохранить эту удобную формулу при произвольных
Рис. 7 Так
введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции
числового аргумента: в координатах В
стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые
оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей
прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (
Рис. 8
Рис. 9 Двугранные
углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы,
получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их
ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная
радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению
площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного
угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9).
Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант -
где
Углом
между двумя скрещивающимися прямыми
|
провести два различных луча 
и 
, то они разобьют
плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной 
(рис. 2). Если в одном из
развернутых углов 
провести луч 
, то он разделит угол 
и 
, которые
называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке 
разбивают плоскость на две
пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов: 
, 
и 
(рис. 3).
Вертикальные углы, например 
и 
: сначала строится окружность 
радиуса 
, а потом линейка
помещается так, чтобы ее край проходил через точку 
, точка 
(простой подсчет углов
равнобедренных треугольников 
и 
дает, что угол 
втрое меньше угла 
часть
развернутого угла) и его долях (
градуса - угловая минута, 
; 
),
и (2) радианное, при котором радианная мера угла 
радианам, откуда получаются формулы,
связывающие градусную и радианную меры угла:
,
рад.
.
; в морской
навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный 
развернутого
угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто
«угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180°
(или 
,
или 
) -
под углами понимаются как раз величины углов.
). Удобно ввести в рассмотрение
полный угол - угол, образуемый лучом 
рад
и 
рад.
Иногда градус определяют как 
часть полного угла.
обозначается 
. Если углы
поворотов 
и их
сумма 
заключены
в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции)
поворотов их углы складываются (рис. 6):
.
(рад/с)
положение 
дается
формулой
(рис.
7).
для произвольного числа 
- координаты
точки 
,
где 
- точка
с координатами 
,
а угол поворота 
-гранные, где 
) углы - части пространства,
ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими
углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол 
с вершиной 
, 
, 
и гранями - плоскими
углами 
,
и 
.
ее часть, поэтому его
телесная мера равна 
(стер). Оказывается, телесная мера 
выражается через
радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII
в. А. Жирара
,
- величина
(в радианах) двугранного угла при ребре 
.
и 
называется угол между проведенными
через одну точку параллельными