УГОЛ
Угол
- самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если
в плоскости из точки
провести два различных луча
и
, то они разобьют
плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной
и сторонами
и
. Угол I на рис. 1
выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи
и
дополняют друг
друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми.
Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость
разбивается прямой
(рис. 2). Если в одном из
развернутых углов
провести луч
, то он разделит угол
на два выпуклых
угла
и
, которые
называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке
прямые
и
разбивают плоскость на две
пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов:
и
,
и
(рис. 3).
Вертикальные углы, например
и
, равны между собой: один из них
можно совместить с другим поворотом около точки
.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Луч,
делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой.
Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых
прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки,
даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить
и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол
на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции
произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в.
математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и
линейки в общем случае нельзя.
Рис. 4
Конечно,
это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как
выполняется трисекция угла
с помощью циркуля и линейки с двумя
отмеченными на ней точками
и
: сначала строится окружность
радиуса
, а потом линейка
помещается так, чтобы ее край проходил через точку
, точка
лежала на
, а точка
- на
дополнительном к
луче
(простой подсчет углов
равнобедренных треугольников
и
дает, что угол
втрое меньше угла
).
Рис. 5
Большое
значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла.
Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели
одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором
углы измеряются в градусах (по определению угол в 1°
- это
часть
развернутого угла) и его долях (
градуса - угловая минута,
;
минуты - угловая
секунда,
),
и (2) радианное, при котором радианная мера угла
определяется как отношение длины
дуги, высекаемой этим углом на произвольной окружности с центром
, к радиусу
окружности. Развернутый угол равен 180°, или
радианам, откуда получаются формулы,
связывающие градусную и радианную меры угла:
,
рад.
В
частности,
.
(В
последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают,
основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.)
Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении
числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении
вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью
тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера
используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с
транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на
местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит).
Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой
; в морской
навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный
развернутого
угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто
«угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180°
(или
,
или
) -
под углами понимаются как раз величины углов.
Углы,
меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие
развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и
), невыпуклого -
между 180° и 360° (или между
и
). Удобно ввести в рассмотрение
полный угол - угол, образуемый лучом
при полном обороте около точки
, а также нулевой
угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру -
соответственно
рад
и
рад.
Иногда градус определяют как
часть полного угла.
В
планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они
имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и
минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки
на угол
обозначается
. Если углы
поворотов
,
и их
сумма
заключены
в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции)
поворотов их углы складываются (рис. 6):
.
Рис. 6
Чтобы
сохранить эту удобную формулу при произвольных
и
, и чтобы можно было рассматривать
механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно
включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов
произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например,
при вращении точки
около точки
с постоянной угловой
скоростью
(рад/с)
положение
в
момент времени
дается
формулой
(рис.
7).
Рис. 7
Так
введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции
числового аргумента: в координатах
для произвольного числа
полагают, что
- координаты
точки
,
где
- точка
с координатами
,
а угол поворота
берется
в радианах.
В
стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые
оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей
прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (
-гранные, где
) углы - части пространства,
ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими
углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол
с вершиной
, ребрами - лучами
,
,
и гранями - плоскими
углами
,
и
.
Рис. 8
Рис. 9
Двугранные
углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы,
получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их
ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная
радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению
площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного
угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9).
Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант -
ее часть, поэтому его
телесная мера равна
(стер). Оказывается, телесная мера
-гранного угла
выражается через
радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII
в. А. Жирара
,
где
- величина
(в радианах) двугранного угла при ребре
.
Углом
между двумя скрещивающимися прямыми
и
называется угол между проведенными
через одну точку параллельными
и
прямыми. Угол между пересекающимися
прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е.
углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися
плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой
и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна
плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными
или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все
перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.