УГОЛУгол - самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если в плоскости из точки провести два различных луча и , то они разобьют плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной и сторонами и . Угол I на рис. 1 выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи и дополняют друг друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми. Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость разбивается прямой (рис. 2). Если в одном из развернутых углов провести луч , то он разделит угол на два выпуклых угла и , которые называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке прямые и разбивают плоскость на две пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов: и , и (рис. 3). Вертикальные углы, например и , равны между собой: один из них можно совместить с другим поворотом около точки . Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя. Рис. 4 Конечно, это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как выполняется трисекция угла с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными на ней точками и : сначала строится окружность радиуса , а потом линейка помещается так, чтобы ее край проходил через точку , точка лежала на , а точка - на дополнительном к луче (простой подсчет углов равнобедренных треугольников и дает, что угол втрое меньше угла ). Рис. 5 Большое значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла. Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором углы измеряются в градусах (по определению угол в 1° - это часть развернутого угла) и его долях ( градуса - угловая минута, ; минуты - угловая секунда, ), и (2) радианное, при котором радианная мера угла определяется как отношение длины дуги, высекаемой этим углом на произвольной окружности с центром , к радиусу окружности. Развернутый угол равен 180°, или радианам, откуда получаются формулы, связывающие градусную и радианную меры угла: , рад. В частности, . (В последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают, основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.) Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит). Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой ; в морской навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный развернутого угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто «угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180° (или , или ) - под углами понимаются как раз величины углов. Углы, меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и ), невыпуклого - между 180° и 360° (или между и ). Удобно ввести в рассмотрение полный угол - угол, образуемый лучом при полном обороте около точки , а также нулевой угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру - соответственно рад и рад. Иногда градус определяют как часть полного угла. В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки на угол обозначается . Если углы поворотов , и их сумма заключены в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (рис. 6): . Рис. 6 Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных и , и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки около точки с постоянной угловой скоростью (рад/с) положение в момент времени дается формулой (рис. 7). Рис. 7 Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах для произвольного числа полагают, что - координаты точки , где - точка с координатами , а угол поворота берется в радианах. В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (-гранные, где ) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол с вершиной , ребрами - лучами , , и гранями - плоскими углами , и . Рис. 8 Рис. 9 Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант - ее часть, поэтому его телесная мера равна (стер). Оказывается, телесная мера -гранного угла выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара , где - величина (в радианах) двугранного угла при ребре . Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между проведенными через одну точку параллельными и прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.
|