УГОЛ

Угол - самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если в плоскости из точки  провести два различных луча  и , то они разобьют плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной  и сторонами  и . Угол I на рис. 1 выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи  и  дополняют друг друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми. Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость разбивается прямой  (рис. 2). Если в одном из развернутых углов  провести луч , то он разделит угол  на два выпуклых угла  и , которые называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке  прямые  и  разбивают плоскость на две пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов:  и ,  и  (рис. 3). Вертикальные углы, например  и , равны между собой: один из них можно совместить с другим поворотом около точки .

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя.

Рис. 4

Конечно, это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как выполняется трисекция угла  с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными на ней точками  и : сначала строится окружность  радиуса , а потом линейка помещается так, чтобы ее край проходил через точку , точка  лежала на , а точка  - на дополнительном к  луче  (простой подсчет углов равнобедренных треугольников  и  дает, что угол  втрое меньше угла ).

Рис. 5

Большое значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла. Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором углы измеряются в градусах (по определению угол в 1° - это  часть развернутого угла) и его долях ( градуса - угловая минута, ;  минуты - угловая секунда, ), и (2) радианное, при котором радианная мера угла  определяется как отношение длины дуги, высекаемой этим углом на произвольной окружности с центром , к радиусу окружности. Развернутый угол равен 180°, или  радианам, откуда получаются формулы, связывающие градусную и радианную меры угла:

,  рад.

В частности,

.

(В последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают, основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.) Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит). Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой ; в морской навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный  развернутого угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто «угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180° (или , или ) - под углами понимаются как раз величины углов.

Углы, меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и ), невыпуклого - между 180° и 360° (или между  и ). Удобно ввести в рассмотрение полный угол - угол, образуемый лучом  при полном обороте около точки , а также нулевой угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру - соответственно  рад и  рад. Иногда градус определяют как  часть полного угла.

В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки  на угол  обозначается . Если углы поворотов ,  и их сумма  заключены в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (рис. 6):

.

Рис. 6

Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных  и , и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки  около точки  с постоянной угловой скоростью  (рад/с) положение  в момент времени  дается формулой

              (рис. 7).

Рис. 7

Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах  для произвольного числа  полагают, что  - координаты точки , где  - точка с координатами , а угол поворота  берется в радианах.

В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (-гранные, где ) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол  с вершиной , ребрами - лучами , ,  и гранями - плоскими углами ,  и .

Рис. 8

Рис. 9

Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант -  ее часть, поэтому его телесная мера равна  (стер). Оказывается, телесная мера -гранного угла  выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара

,

где  - величина (в радианах) двугранного угла при ребре  .

Углом между двумя скрещивающимися прямыми  и  называется угол между проведенными через одну точку параллельными  и  прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.