УГОЛ
Угол - самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если в плоскости из точки
провести два различных луча
и
, то они разобьют плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной
и сторонами
и
. Угол I на рис. 1 выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи
и
дополняют друг друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми. Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость разбивается прямой
(рис. 2). Если в одном из развернутых углов
провести луч
, то он разделит угол
на два выпуклых угла
и
, которые называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке
прямые
и
разбивают плоскость на две пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов:
и
,
и
(рис. 3). Вертикальные углы, например
и
, равны между собой: один из них можно совместить с другим поворотом около точки
.
![306-1.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image013.jpg)
Рис. 1
![306-2.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image014.jpg)
Рис. 2
![306-3.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image015.jpg)
Рис. 3
Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя.
![306-4.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image016.jpg)
Рис. 4
Конечно, это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как выполняется трисекция угла
с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными на ней точками
и
: сначала строится окружность
радиуса
, а потом линейка помещается так, чтобы ее край проходил через точку
, точка
лежала на
, а точка
- на дополнительном к
луче
(простой подсчет углов равнобедренных треугольников
и
дает, что угол
втрое меньше угла
).
![306-5.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image026.jpg)
Рис. 5
Большое значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла. Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором углы измеряются в градусах (по определению угол в 1° - это
часть развернутого угла) и его долях (
градуса - угловая минута,
;
минуты - угловая секунда,
), и (2) радианное, при котором радианная мера угла
определяется как отношение длины дуги, высекаемой этим углом на произвольной окружности с центром
, к радиусу окружности. Развернутый угол равен 180°, или
радианам, откуда получаются формулы, связывающие градусную и радианную меры угла:
,
рад.
В частности,
.
(В последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают, основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.) Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит). Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой
; в морской навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный
развернутого угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто «угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180° (или
, или
) - под углами понимаются как раз величины углов.
Углы, меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и
), невыпуклого - между 180° и 360° (или между
и
). Удобно ввести в рассмотрение полный угол - угол, образуемый лучом
при полном обороте около точки
, а также нулевой угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру - соответственно
рад и
рад. Иногда градус определяют как
часть полного угла.
В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки
на угол
обозначается
. Если углы поворотов
,
и их сумма
заключены в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (рис. 6):
.
![307-1.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image048.jpg)
Рис. 6
Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных
и
, и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки
около точки
с постоянной угловой скоростью
(рад/с) положение
в момент времени
дается формулой
(рис. 7).
![307-2.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image052.jpg)
Рис. 7
Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах
для произвольного числа
полагают, что
- координаты точки
, где
- точка с координатами
, а угол поворота
берется в радианах.
В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (
-гранные, где
) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол
с вершиной
, ребрами - лучами
,
,
и гранями - плоскими углами
,
и
.
![307-3.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image067.jpg)
Рис. 8
![307-4.jpg](/archive/arch.php?path=../htm/book_e_math/files.book&file=e_math_140.files/image068.jpg)
Рис. 9
Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант -
ее часть, поэтому его телесная мера равна
(стер). Оказывается, телесная мера
-гранного угла
выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара
,
где
- величина (в радианах) двугранного угла при ребре
.
Углом между двумя скрещивающимися прямыми
и
называется угол между проведенными через одну точку параллельными
и
прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.