ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИФункции, определяемые формулами , , называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. На рис. 1 и 2 приведены графики гиперболических функций. Гиперболический синус – возрастающая функция, нечетная, равная нулю при , положительная при и отрицательная при . Гиперболический косинус – четная функция, в точке принимает наименьшее значение. При неограниченном возрастании аргумента обе эти функции очень быстро возрастают. С достаточной степенью точности их можно заменить при больших просто показательной функцией . Рис. 1 Рис. 2 Нетрудно убедиться, что при любых справедливо следующее равенство: . Гиперболические функции обладают многими свойствами, аналогичными свойствам тригонометрических функций, например справедливы следующие формулы: Кроме функций и рассматриваются также гиперболические тангенс и котангенс, которые обозначаются и ; они определяются по формулам: ; . Графики этих функций изображены на рис. 3. Рис. 3 Название свое гиперболические функции получили потому, что они связаны с равнобочной гиперболой так же, как функции синус и косинус связаны с единичной окружностью (рис. 4 и 5). Если точка лежит на единичной окружности, то ее абсцисса и ордината соответственно равны , . Для точки , лежащей на гиперболе , абсциссу и ординату можно представить в виде , . Для окружности равно углу , но, кроме того, также равно удвоенной площади сектора . Последнее верно и для гиперболы, т.е. если равно удвоенной площади гиперболического сектора , то координаты точки равны и . Рис. 4 Рис. 5 Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.
|