ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Функции, определяемые формулами

, ,

называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. На рис. 1 и 2 приведены графики гиперболических функций. Гиперболический синус – возрастающая функция, нечетная, равная нулю при , положительная при  и отрицательная при . Гиперболический косинус – четная функция, в точке  принимает наименьшее значение. При неограниченном возрастании аргумента  обе эти функции очень быстро возрастают. С достаточной степенью точности их можно заменить при больших  просто показательной функцией .

Рис. 1

Рис. 2

Нетрудно убедиться, что при любых  справедливо следующее равенство:

.

Гиперболические функции обладают многими свойствами, аналогичными свойствам тригонометрических функций, например справедливы следующие формулы:

Кроме функций  и  рассматриваются также гиперболические тангенс и котангенс, которые обозначаются  и ; они определяются по формулам:

; .

Графики этих функций изображены на рис. 3.

Рис. 3

Название свое гиперболические функции получили потому, что они связаны с равнобочной гиперболой  так же, как функции синус и косинус связаны с единичной окружностью  (рис. 4 и 5). Если точка  лежит на единичной окружности, то ее абсцисса и ордината соответственно равны , . Для точки , лежащей на гиперболе , абсциссу и ординату можно представить в виде , . Для окружности  равно углу , но, кроме того,  также равно удвоенной площади сектора . Последнее верно и для гиперболы, т.е. если  равно удвоенной площади гиперболического сектора , то координаты точки  равны  и .

Рис. 4

Рис. 5

Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.