ДЕЛИМОСТЬ

Делимость – одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел (см. Чисел теория). Говорят, что целое число  делится на целое , если частное  является целым, т. е. существует такое целое число , что . Например, 54 делится на 6, так как ; 273 делится на 21, так как . Из определения делимости следует, что число 0 делится на любое число, отличное от нуля.

Часто утверждение о делимости числа  на число  выражают другими равнозначными словами:  кратно ,  - делитель  или же  делит .

Всякое целое число  делится по крайней мере на четыре числа . Натуральное число  называется простым, если никаких других делителей оно не имеет.

Приведем несколько свойств делимости:

а) если числа  и  делятся на , то и числа ,  делятся на ;

б) если  делится на  и  - произвольное целое число, то  делится на ;

в) если  делится на  и  - на , то  делится на .

Зная разложения чисел  и  на простые множители, можно легко выяснить, делится ли  на . Для того чтобы число  делилось на число , необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа , входил и в разложение числа ; причем если простой множитель встречается  раз в разложении числа , то он должен встретиться не менее  раз и в разложении числа .

Если целые числа  и  заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли  на .

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9;

ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.