ДЕЛИМОСТЬДелимость – одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел (см. Чисел теория). Говорят, что целое число делится на целое , если частное является целым, т. е. существует такое целое число , что . Например, 54 делится на 6, так как ; 273 делится на 21, так как . Из определения делимости следует, что число 0 делится на любое число, отличное от нуля. Часто утверждение о делимости числа на число выражают другими равнозначными словами: кратно , - делитель или же делит . Всякое целое число делится по крайней мере на четыре числа . Натуральное число называется простым, если никаких других делителей оно не имеет. Приведем несколько свойств делимости: а) если числа и делятся на , то и числа , делятся на ; б) если делится на и - произвольное целое число, то делится на ; в) если делится на и - на , то делится на . Зная разложения чисел и на простые множители, можно легко выяснить, делится ли на . Для того чтобы число делилось на число , необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа , входил и в разложение числа ; причем если простой множитель встречается раз в разложении числа , то он должен встретиться не менее раз и в разложении числа . Если целые числа и заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли на . Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе): а) для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2; б) для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3; в) для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4; г) для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5; д) для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8; е) для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9; ж) для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0; з) для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11. Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.
|