Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Интегральное исчисление – это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.

Даты возникновения некоторых математических знаков

Знак

Значение

Кто ввел

Когда знак введен, год

Знаки объектов

бесконечность

Дж. Валлис

1655

отношение длины окружности к диаметру

У. Джонс

Л. Эйлер

1706

1736

корень квадратный из

Л. Эйлер

1777

неизвестные или переменные величины

Р. Декарт

1637

вектор

О. Коши

1853

Знаки операций

сложение

немецкие математики

конец XV в.

вычитание

»

»

умножение

У. Оутред

1631

умножение

Г. Лейбниц

1698

деление

Г. Лейбниц

1684

степени

Р. Декарт

1637

корни

X. Рудольф

А. Жирар

1525

1629

логарифм

И. Кеплер

1624

синус

Б. Кавальери

1632

косинус

Л. Эйлер

1748

тангенс

Л. Эйлер

1753

арксинус

Ж. Лагранж

1772

дифференциал

Г. Лейбниц

1675

интеграл

Г. Лейбниц

1675

производная

Г. Лейбниц

1675

определенный интеграл

Ж. Фурье

1819-1822

сумма

Л. Эйлер

1755

факториал

X. Крамп

1808

предел

У. Гамильтон

многие математики

1853

начало

XX в.

функция

И. Бернулли

Л. Эйлер

1718

1734

Знаки отношений

равенство

Р. Рекорд

1557

больше

меньше

Т. Гарриот

1631

сравнимость

К. Гаусс

1801

параллельность

У. Оутред

1677

перпендикулярность

П. Эригон

1634

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них – физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур (см. Геометрические задачи на экстремум).

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов.

В дифференциальном исчислении была введена операция дифференцирования функций. Рассматриваемая в интегральном исчислении обратная к дифференцированию математическая операция называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

В чем же состоит эта обратная операция и в чем ее неопределенность?

Операция дифференцирования сопоставляет заданной функции  ее производную . Допустим, что мы хотим, исходя из заданной функции , найти такую функцию , производной которой является функция , т. е. . Такая функция называется первообразной функции .

Значит, обратная дифференцированию операция – неопределенное интегрирование – состоит в отыскании первообразной данной функции.

Заметим, что, наряду с функцией , первообразной для функции , очевидно, будет также любая функция , отличающаяся от  постоянным слагаемым : ведь .

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию – производную первой, неопределенное интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность.

Однако степень этой неопределенности не так уж велика. Напомним, что если производная некоторой функции равна нулю во всех точках какого-то промежутка, то это функция, постоянная на рассматриваемом промежутке (на промежутках, где скорость изменения переменной величины везде равна нулю, она не меняется). Значит, если  на каком-то промежутке , то функция  постоянна на этом промежутке, поскольку ее производная  равна нулю во всех точках промежутка.

Итак, две первообразные одной и той же функции могут отличаться на промежутке только постоянным слагаемым.

Первообразные функции  обозначают символом

,

где знак  читается: интеграл. Это так называемый неопределенный интеграл. По доказанному, неопределенный интеграл изображает на рассматриваемом промежутке не одну конкретную функцию, а любую функцию вида

,                       (1)

где  - какая-то первообразная функции  на данном промежутке, а  - произвольная постоянная.

Например, на всей числовой оси

; ; .

Мы здесь специально обозначили аргументы подынтегральных функций различными символами: , чтобы обратить внимание на независимость первообразной как функции от выбора буквы, используемой для обозначения ее аргумента.

Проверка написанных равенств выполняется простым дифференцированием их правых частей, в результате которого получаются стоящие в левых частях под знаком интеграла функции , ,  соответственно.

Полезно иметь в виду также следующие очевидные соотношения, непосредственно вытекающие из определений первообразной, производной, дифференциала и из соотношения (1) для неопределенного интеграла:

, , , .

Отыскание первообразной часто облегчают некоторые общие свойства неопределенного интеграла:

(вынесение постоянного множителя);

(интегрирование суммы); если

,

то

(замена переменной).

Эти соотношения также проверяются непосредственно с использованием соответствующих правил дифференцирования.

Найдем закон движения свободно падающего в пустоте тела, исходя из единственного факта, что при отсутствии воздуха ускорение  свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно и не зависит от особенностей падающего тела. Фиксируем вертикальную координатную ось; направление на оси выберем в сторону к Земле. Пусть  - координата нашего тела в момент . Нам известно, таким образом, что  и  - постоянная. Требуется найти функцию  - закон движения.

118-1.jpg

118-2.jpg

Поскольку , где , то, последовательно интегрируя, находим

(2)

Итак, мы нашли, что

,                    (3)

где  и  - какие-то постоянные. Но падающее тело подчиняется все-таки одному конкретному закону движения, в котором уже нет никакого произвола. Значит, есть еще какие-то условия, которые мы пока не использовали; они позволяют среди всех «конкурирующих» законов (3) выбрать тот, который соответствует конкретному движению. Эти условия легко указать, если разобраться в физическом смысле постоянных  и . Если сравнить крайние члены соотношения (2) при , то выяснится, что , а из (3) при  получается, что . Таким образом, математика сама напомнила нам, что искомый закон движения

вполне определится, если указать начальное положение  и начальную скорость  тела. В частности, если  и , получаем .

Отметим теперь, что между операцией нахождения производной (дифференцированием) и операцией отыскания первообразной (неопределенным интегрированием) имеется, кроме указанного выше, еще целый ряд принципиальных отличий. В частности, следует иметь в виду, что если производная любой комбинации элементарных функций сама выражается через элементарные функции, т.е. является элементарной функцией, то первообразная элементарной функции уже не всегда является функцией элементарной. Например, первообразная

элементарной функции  (называемая интегральным синусом и обозначаемая специальным символом ), как можно доказать, не выражается в элементарных функциях. Таким образом, принципиальный математический вопрос о существовании первообразной у наперед заданной функции не надо смешивать с не всегда разрешимой задачей об отыскании этой первообразной среди элементарных функций. Интегрирование часто является источником введения важных и широко используемых специальных функций, которые изучены ничуть не хуже таких «школьных» функций, как  или , хотя и не входят в список элементарных функций.

Наконец, отметим, что отыскание первообразной, даже когда она выражается в элементарных функциях, скорее напоминает искусство, чем канонический алгоритм вычислений, подобный алгоритму дифференцирования. По этой причине найденные первообразные наиболее часто встречающихся функций собраны в виде справочных таблиц неопределенных интегралов. Следующая микротаблица такого рода, очевидно, равносильна микротаблице производных соответствующих основных элементарных функций:

Мы, пока говорили об обращении операции дифференцирования, пришли в этой связи к понятиям первообразной, неопределенного интеграла и дали первоначальное определение этих понятий.

Теперь укажем иной, куда более древний подход к интегралу, который послужил основным первоначальным источником интегрального исчисления и привел к понятию определенного интеграла или интеграла в собственном смысле этого слова. Этот подход четко прослеживается уже у древнегреческого математика и астронома Евдокса Книдского (примерно 408-355 до н.э.) и Архимеда, т.е. он возник задолго до появления дифференциального исчисления и операции дифференцирования.

119.jpg

Вопрос, который рассматривали Евдокс и Архимед, создав при его решении «метод исчерпывания», предвосхитивший понятие интеграла – это вопрос о вычислении площади криволинейной фигуры. Ниже мы рассмотрим этот вопрос, а пока поставим, вслед за И. Ньютоном, следующую задачу: по известной в любой момент  из промежутка времени  скорости  тела найти величину перемещения тела за этот промежуток времени.

Если бы был известен закон движения, т.е. зависимость координаты тела от времени, то ответ, очевидно, выражался бы разностью . Более того, если бы мы знали какую-либо первообразную  функции  на промежутке , то, поскольку , где  - постоянная, можно было бы найти искомую величину перемещения в виде разности , которая совпадает с разностью . Это очень полезное наблюдение, однако если первообразную данной функции  указать не удается, то действовать приходится совсем иначе.

Будем рассуждать следующим образом.

Если промежуток  отдельными моментами , такими, что , разбить на очень мелкие временные промежутки , , то на каждом из этих коротких промежутков скорость  тела не успевает заметно измениться. Фиксировав произвольно момент , можно таким образом приближенно считать, что на промежутке времени  движение происходит с постоянной скоростью . В таком случае для величины пути, пройденного за промежуток времени , получаем приближенное значение , где . Складывая эти величины, получаем приближенное значение

                   (4)

для всего перемещения на промежутке .

Найденное приближенное значение тем точнее, чем более мелкое разбиение промежутка  мы произведем, т.е. чем меньше будет величина  наибольшего из промежутков , на которые разбит промежуток .

Значит, искомая нами величина перемещения есть предел

                  (5)

сумм вида (4), когда величина  стремится к нулю.

Суммы специального вида (4) называются интегральными суммами для функции  на промежутке , а их предел (5), получаемый при неограниченном мельчании разбиений, называется интегралом (или определенным интегралом) от функции  на промежутке . Интеграл обозначается символом

,

в котором числа  называются пределами интегрирования, причем  - нижним, a  -  верхним пределом интегрирования; функция , стоящая под знаком  интеграла, называется подынтегральной функцией;  - подынтегральным выражением;  - переменной интегрирования.

Итак, по определению,

.             (6)

Значит, искомая величина перемещения тела за временной промежуток  при известной скорости  движения выражается интегралом (6) от функции  по промежутку .

Сопоставляя этот результат с тем, который на языке первообразной был указан в начале рассмотрения этого примера, приходим к знаменитому соотношению:

,                      (7)

если . Равенство (7) называется формулой Ньютона-Лейбница. В левой его части стоит понимаемый как предел (6) интеграл, а в правой – разность значений (в концах  и  промежутка интегрирования) функции , первообразной подынтегральной функции . Таким образом, формула Ньютона-Лейбница связывает интеграл (6) и первообразную. Этой формулой можно, следовательно, пользоваться в двух противоположных направлениях: вычислять интеграл, найдя первообразную, или получать приращение первообразной, найдя из соотношения (6) интеграл. Мы увидим ниже, что оба эти направления использования формулы Ньютона-Лейбница весьма важны.

Интеграл (6) и формула (7) в принципе решают поставленную в нашем примере задачу. Так, если  (как это имеет место в случае свободного падения, начинающегося из состояния покоя, т.е. с ), то, найдя первообразную  функции  по формуле (7), получаем величину

перемещения за время, прошедшее от момента  до момента .

На основе разобранной только что физической задачи, приведшей нас к интегралу и формуле Ньютона-Лейбница, обобщая сделанные наблюдения, можно теперь сказать, что если на некотором промежутке  задана функция , то, разбивая промежуток  точками , составляя интегральные суммы

,             (4')

где , , и переходя к пределу при , где , мы получаем по определению интеграл

                      (6')

от функции  по промежутку . Если при этом  на , т.е.  - первообразная функции  на промежутке , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

.                 (7)

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707-1783)
120.jpg

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих , и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула , устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: .

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь  изображенной на рис. 1 фигуры  (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона»  которой есть график заданной на отрезке  функции . Точками  разобьем отрезок  на мелкие отрезки , в каждом из которых фиксируем некоторую точку . Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , заменим приближенно площадью  соответствующего прямоугольника с основанием  и высотой . В таком случае приближенное значение площади  всей фигуры  даст знакомая нам интегральная сумма , а точное значение искомой площади  получится как предел таких сумм, когда длина  наибольшего из отрезков  разбиения стремится к нулю. Таким образом, получаем:

.                       (8)

121.jpg

Рис. 1

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола  делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь  нижнего параболического треугольника. В нашем случае  и . Нам известна первообразная  функции , значит, можно воспользоваться формулой (7') Ньютона-Лейбница и без труда получить

.

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

122-1.jpg

Рис. 2

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что , , с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

,

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

.                     (9)

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию  вращать вокруг оси , то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде  (произведение площади  основания на высоту ). Сумма  дает приближенное значение объема  рассматриваемого тела вращения. Точное значение  получится как предел таких сумм при . Значит,

.                  (10)

122-2.jpg

Рис. 3

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) ,  и , где  - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную  функции  и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

,

где  площадь круга, лежащего в основании конуса.

124-1.jpg

Рис. 4

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

122-3.jpg

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж  и ! В. Я. Брюсов

123.jpg

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость , до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть  - масса тела,  - масса планеты. Кинетической энергии , которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии  от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

,

где  - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по  мере удаления от планеты.

Вычислим работу , которую нужно совершить, чтобы тело, находящееся на высоте  (считая от центра планеты), поднять на высоту .

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину  пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток  точками  на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

на каждом из промежутков ; сложив элементарные работы

,

получим приближенное значение искомой работы  на промежутке , а точнее значение  выражается, таким образом, следующим интегралом:

,

в котором роль переменной интегрирования играет . Величины  постоянны, а функция  имеет первообразную , зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим

.

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801-1862)
124-2.jpg

М. В. Остроградский – русский математик, один из основателей петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).

Остроградский учился в Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских математиков он начал исследования в области математической физики.

Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных. Необходимость решать задачи, касающиеся функций многих переменных, привела к созданию новой области математики, получившей название теории уравнений математической физики. Развивая методы решения таких уравнений, предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к разложению функций в ряды по тригонометрическим функциям. Остроградский рассмотрел подобные задачи для тел, имевших более сложную форму, чем изученные Фурье. Еще в своей первой работе, посвященной распространению волн в сосуде цилиндрической формы, он решил задачу, на которую объявила конкурс Парижская академия наук. А в 1828г. ученый дал общую формулировку метода Фурье и изучил с его помощью колебания газа, упругих пластинок и т.д. М. В. Остроградскому удалось обобщить формулу интегрального исчисления, выведенную в одном частном случае К. Ф. Гауссом.

Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского состоит в том, что поток жидкости через замкнутую поверхность тела равен суммарной производительности находящихся внутри нее источников и стоков.

Плодотворно занимался Остроградский теоретической механикой, математическим анализом и т.д. Многие его работы имели прикладную направленность: ученый занимался внешней баллистикой, статистическими методами браковки изделий, участвовал в комиссиях по реформе календаря, по водоснабжению Петербурга. Он был основателем научной школы русских ученых, работавших в области механики и прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип сознательного сочетания теории с практикой.

Много внимания М. В. Остроградский уделял проблемам преподавания математики. Он считал, что главная задача обучения – заинтересовать ребенка, а элементы наук должны излагаться в наиболее доступной и приспособленной к уму ученика форме. Абстрактное же изложение математики отвращает учеников от изучаемой науки. Эти идеи Остроградского легли в основу движения за реформу математического образования в России, начавшегося во второй половине XIX в.

Если  увеличивать неограниченно, т.е., как говорят, удалять тело на бесконечность, то, переходя к пределу при , получаем

,

где  - символ, читаемый «бесконечность». Если в последней формуле считать, что  - радиус планеты, то  будет работой, которую надо совершить против сил тяготения, чтобы тело с поверхности планеты ушло в бесконечность.

Полученное для  выражение можно упростить, если вспомнить другой закон Ньютона , связывающий силу  и вызванное ею ускорение  тела массы . Свободно падающее на планету тело у ее поверхности имеет ускорение , вызванное силой притяжения

,

где  - радиус планеты. Значит,

,

откуда следует, что

 и, значит, .

Это и есть формула для подсчета работы, необходимой для выхода из ноля притяжения планеты. Для «ухода» с планеты по инерции нужно иметь вертикальную скорость , при которой кинетическая энергия  тела не меньше или, по крайней мере, равна работе , затрачиваемой на преодоление притяжения планеты.

Таким образом, вторая космическая скорость, получаемая из равенства , выражается в виде

.

В частности, для Земли , , поэтому , или .

Во всех разобранных до сих пор примерах мы использовали первообразную, чтобы по формуле (7') Ньютона-Лейбница вычислить интересовавший нас интеграл. Но та же формула Ньютона-Лейбница наводит на мысль использовать сам интеграл для нахождения первообразной или, по крайней мере, для выяснения принципиального вопроса о ее существовании. Этого вопроса мы уже коснулись в разделе, посвященном первообразной и неопределенному интегралу. Теперь мы рассмотрим его несколько внимательнее.

Пусть на отрезке  задана функция , график которой изображен линией  на рис. 5. Мы знаем, что площадь всей криволинейной трапеции  выражается интегралом (8). Обозначим через  площадь той ее части, которая лежит над отрезком .

125.jpg

Рис. 5

Тогда

.                  (11)

Здесь мы обозначили переменную интегрирования через , чтобы не путать ее с , являющимся в нашем случае верхним пределом интегрирования.

Величина , очевидно, зависит от точки .

Покажем, что  - первообразная функции  на отрезке , т.е.  при . В самом деле, как видно из рис. 5,

,

что равносильно приближенному равенству

.

При уменьшении величины  точность этого соотношения только улучшается, поэтому

и, значит,

.

Таким образом, интеграл (11) с переменным верхним пределом  дает нам первообразную функции . Среди всех прочих первообразных функции  на отрезке  эта первообразная выделяется очевидным условием . Поскольку интеграл, согласно его определению (6'), можно вычислить с любой наперед заданной точностью, то и значение  первообразной (11) функции  в любой точке  можно найти сколь угодно точно, даже не интересуясь при этом аналитической записью  или вопросом о том, является ли  элементарной функцией.

Существуют простые и очень эффективные численные методы интегрирования – это так называемые квадратурные формулы. Они позволяют на электронных вычислительных машинах за доли секунды получать значения определенных интегралов. Это обстоятельство делает формулу (11) средством отыскания первообразной. Например, современные подводные лодки порой месяцами находятся на большой глубине и перемещаются на огромные расстояния; не имея никакой связи с внешним миром, они тем не менее выходят в точно заданный квадрат. Навигационное оборудование, которое позволяет определять координаты лодки в любой момент, является технической реализацией формулы (11) и основано на таком физическом принципе. Находясь в закрытом движущемся помещении (хорошо звукоизолированном мягком вагоне, самолете и т.д.), мы не ощущаем скорости движения, но зато определенно чувствуем изменение скорости – ускорение. Оно положительно при увеличении скорости, когда масса вдавливает вас в самолетное кресло, и отрицательно при торможении, когда вам могут пригодиться даже пристяжные ремни. Поскольку между ускорением  массы  и вызывающей его силой  имеется прямая пропорциональная зависимость , величину  ускорения можно объективно измерять, закрепив массу  на свободном конце пружинки, расположенной вдоль направления движения, и соединив жестко второй ее конец, например, с задней стенкой движущегося помещения. Если растяжение и сжатие пружины пропорционально действующей на нее силе, то по величине отклонения массы  от положения равновесия можно узнавать величину  ускорения, происходящего в данном направлении в любой момент времени .

Если движение начиналось с нулевой начальной скоростью, то, зная , можно по формуле (11) найти сначала скорость  движения, а зная , найти и перемещение  в этом направлении к моменту , поскольку

, а .

Обработка показаний приборов и вычисление этих интегралов выполняется электронной вычислительной машиной. Если есть три датчика ускорения, удерживаемых (например, гироскопами) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то вы можете в любой момент знать ваше перемещение по каждому из указанных направлений и тем самым определить все три ваши координаты в некоторой системе координат, началом которой является точка старта – база, аэродром, космодром.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>