ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

Линейным уравнением с неизвестными называют уравнение вида

; (1)

числа называют коэффициентами при неизвестных, число – свободным членом уравнения.

Линейные уравнения с одним неизвестным умели решать еще в Древнем Вавилоне и в Египте более чем 4 тыс. лет назад. Приведем, например, задачу из папируса Ринда (его называют также папирусом Ахмеса), хранящегося в Британском музее и относящегося к периоду 2000-1700 гг. до н.э.: «Найти число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитания от полученной суммы ее трети получается число 10». Решение этой задачи сводится к решению линейного уравнения

, откуда .

Приведем также задачу Метродора, о жизни которого ничего не известно, кроме того, что он автор интересных задач, составленных в стихах.

                       Здесь погребен Диофант, и камень могильный
                       При счете искусном расскажет нам,
                       Сколь долог был его век.
                       Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
                       В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
                       Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея.
                       Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.
                       Но горе ребенку! Едва половину он прожил
                       Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
                       Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжелой
                       И умер, прожив для науки. Скажи мне,
                       Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Решая линейное уравнение

находим, что – столько лет прожил Диофант.

Сам Диофант много внимания уделял неопределенным уравнениям (так называют алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя и большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения; число неизвестных должно быть больше числа уравнений). Эти уравнения называются диофантовыми уравнениями. Правда, Диофант, живший на рубеже II-III вв., в основном занимался неопределенными уравнениями более высоких степеней.

Систему алгебраических уравнений, каждое из которых имеет вид (1), называют линейной системой. Коэффициенты уравнений, входящих в систему, нумеруют обычно двумя индексами, первый из которых – номер уравнения, а второй (как и в (1)) – номер неизвестного. Например, систему уравнений с неизвестными записывают в виде

(2)

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(3)

Умножим первое уравнение системы (3) на и вычтем из полученного уравнения второе, умноженное на ; аналогично умножим второе уравнение системы (3) на и вычтем из полученного уравнения первое, умноженное на . После этого получится система:

(4)

которая есть следствие системы (3). Систему (4) можно записать в виде

(5)

где – определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы (см. Определитель), - определители матриц, получаемых из предыдущей заменой -го столбца на столбец из свободных членов, . Далее, если , то система (5) имеет единственное решение:

, .

Непосредственной подстановкой проверяется, что эта пара чисел является также и решением системы (3). По такому же правилу ищут решение системы линейных уравнений с неизвестными: если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, причем

где - определитель матрицы, получаемой из матрицы, составленной из коэффициентов системы, заменой в ней -го столбца на столбец из свободных членов. Описанное правило решения линейных систем носит название правила Крамера. (Г. Крамер – швейцарский математик, 1704-1752).

Если , то должны обращаться в нуль и , и (иначе (5), а тем более (3) не имеет решений). При выполнении условия , если соответственные коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнения системы (3) пропорциональны, то система будет иметь бесконечно много решений; если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля (например, если ), то , можно взять любым, тогда

Осталось разобрать случай, когда система имеет вид

для которого ответ очевиден: если , то решением является любая пара чисел, в противном случае решений нет.

В общем случае для системы из уравнений с неизвестными при система имеет единственное решение, которое, как уже говорилось, можно найти по правилу Крамера. Если и хотя бы один из определителей отличен от нуля, система несовместна (т.е. не имеет решений). В случае, когда , система может либо быть несовместной, либо иметь бесконечно много решений. Установить, какой из этих двух случаев реализуется с помощью определителей, довольно сложно, и мы этим заниматься не будем. На практике для решения линейных систем правилом Крамера обычно не пользуются. Чаще всего для этих целей применяют метод Гаусса (см. Неизвестных исключение).

Как известно, линейное уравнение определяет прямую на плоскости в случае, когда хотя бы один из коэффициентов и отличен от нуля. Если мы возьмем на плоскости две прямые то возможны следующие случаи (рис. 1): 1) прямые параллельны и не имеют общих точек, и тогда система не имеет решений; 2) прямые пересекаются, и тогда система имеет одно решение; 3) прямые совпадают, и тогда система имеет бесконечно много решений. Но две «случайно» взятые прямые, «как правило», будут пересекаться, т.е., как правило, система двух линейных уравнений с двумя переменными будет иметь одно решение. Любая точка некоторой прямой на плоскости соответствует решению «системы» (состоящей из одного уравнения), т.е., как правило, имеет место случай 3 (случай 2 невозможен, а случай 1 реализуется, если мы возьмем уравнение , где , не определяющее прямой на плоскости). Если же на плоскости взять 3 или больше прямых, то, вообще говоря, они могут все совпадать или проходить через одну точку, но, как правило, имеет место первый случай – у прямых нег общей точки.

Рис. 1