МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.

Пусть спрос  и предложение  товара зависят от цены . Для равновесия цена на рынке должна быть такой , чтобы товар был распродан и не было его излишков:

.                     (1)

Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене  спрос  превышает предложение . И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене . При такой цене предложение возрастает до величины ; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне .

Рис. 1

Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену  и соответствующее значение спроса и предложения .

Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции  в момент времени  определяется затратами труда , производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием  к затратам труда. Математическая запись этого такова:

.                  (2)

Конечная продукция распределяется на потребление  и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через , то

.            (3)

В экономике  называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

.                     (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста . По формуле сложных процентов получаем:

, , , .

Если ввести величины, характеризующие потребление , объем оборудования  и выпуск продукции  на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему

, , .                      (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста  и потреблении  определит фондовооруженность труда  как точку пересечения кривой  и прямой  на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция , хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда , однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления  отвечает семейство кривых . Длина  отрезка  как следует из формулы (5), равна потреблению . При  (точка  на рис. 2) потребления совсем нет – вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления . Тогда потребление  (длина ) будет уже ненулевым, хотя темп роста  экономики (угол наклона прямой ) остается тем же. В точке с ординатой , для которой касательная к кривой  параллельна прямой  потребление  максимально. Ей соответствует кривая семейства  с некоторой нормой накопления , называемой «золотой нормой накопления».

Рис. 2

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ (1912-1986) Л. В. Канторович – советский математик и экономист, создатель линейного программирования и теории оптимального планирования социалистической экономики, академик, лауреат Нобелевской премии. Л. В. Канторович родился в Петербурге, в семье врача. Его способности проявились необычайно рано. Уже в 4 гола он свободно оперировал многозначными числами, в семилетнем возрасте освоил курс химии по учебнику старшего брата. В 14 лет он стал студентом Петербургского университета. К моменту окончания университета, в 1930 г., Л. В. Канторович уже известный ученый, автор десятка работ, опубликованных в ведущих международных математических журналах, а в 20 лет – профессор математики. В 1935 г. ученый ввел и изучил класс функциональных пространств, в которых для некоторого набора их элементов определено отношение порядка. Теория таких пространств их называют пространствами Канторовича, или -пространствами, является одним из основных разделов функционального анализа. Недавние работы, связанные с решением проблемы континуума, определили место -пространств в ряду наиболее фундаментальных математических структур. Л. В. Канторовича отличала поразительная способность в частной задаче увидеть ядро проблемы и, создав теорию, дать общий метод решения широкого класса подобных задач. Особенно ярко это раскрылось в его работах по вычислительной математике и математической экономике. В начале 30-х гг. Л. В. Канторович одним из первых крупных ученых заинтересовался вычислительной математикой. Современный облик этой науки во многом был определен его трудами. Среди них основополагающая и ставшая классической монография «Приближенные методы высшего анализа»; вычислительные методы, носящие его имя; общая теория приближенных методов, построенная на базе функционального анализа (Государственная премия 1949 г.); работы по автоматическому программированию, выполненные на заре компьютерной эры и предвосхитившие многие современные идеи, наконец, ряд изобретений в области вычислительной техники. В 1939 г. в Ленинграде вышла небольшая брошюра «Математические методы организации и планирования производства», в которой фактически содержался новый раздел прикладной математики, впоследствии названный линейным программированием (см. Геометрия). Поводом к ее написанию послужила конкретная производственная задача. Осознав ключевое значение понятий вариантности и оптимальности в социалистической экономике, таких важнейших показателей, как цена, рента, эффективность, он приступает к разработке теории оптимального планирования, удостоенной впоследствии Ленинской (1965) и Нобелевской (1975) премий. Книга «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», излагающая эту теорию, была написана в условиях ленинградской блокады и закончена уже в 1942 г. Понимая исключительную важность этих исследований, ученый настойчиво добивался практического использования их результатов. Однако работа была опубликована только в 1959 г. и даже тогда подвергалась нападкам ортодоксальных политэкономов. Книга Л. В. Канторовича сформировала взгляды целого поколения советских экономистов. Многие идеи, впервые высказанные там, реализуются в ходе перестройки. Международный научный авторитет ученого был очень высок. Л. В. Канторович член многих зарубежных академий, почетный доктор многих университетов мира.

После олимпиады интересно обсудить решения задач.

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно – измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).

Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.