АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.

Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.

Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.

Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.

Каковы же предпосылки появления математического анализа?

К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.

Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН (1883-1950) Н. Н. Лузин – советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929). Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки. В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество точек отрезка (проблема континуума). Для любого бесконечного множества, которое можно было получить из отрезков с помощью операций объединения и пересечения счетных совокупностей множеств, эта гипотеза выполнялась, и, чтобы решить проблему, нужно было выяснить, какие еще есть способы конструирования множеств. Одновременно Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию, даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы тригонометрического ряда, т.е. суммы бесконечного множества гармонических колебаний. По этим вопросам Лузин получил ряд значительных результатов и в 1915 г. защитил диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», за которую ему сразу присудили ученую степень доктора чистой математики, минуя существовавшую в то время промежуточную степень магистра. В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Талантливый преподаватель, он привлекал к себе наиболее способных студентов и молодых математиков. Своего расцвета школа Лузина достигла в первые послереволюционные годы. Ученики Лузина образовали творческий коллектив, который шутливо называли «лузитанией». Многие из них получили первоклассные научные результаты еще на студенческой скамье. Например, П. С. Александров и М. Я. Суслин (1894-1919) открыли новый метод конструирования множеств, что послужило началом развития нового направления - дескриптивной теории множеств. Исследования в этой области, проводившиеся Лузиным и его учениками, показали, что обычных методов теории множеств недостаточно для решения многих возникавших в ней проблем. Научные предвидения Лузина полностью подтвердились в 60-е гг. XX в. Многие ученики Н. Н. Лузина стали впоследствии академиками и членами-корреспондентами АН СССР. Среди них П. С. Александров. А. Н. Колмогоров. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков. Л. Г. Шнирельман и другие. Современные советские и зарубежные математики в своих работах развивают идеи Н. Н. Лузина.

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что , поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение  может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества  проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени  (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния  (километров).

Вообще зависимость , где  - некоторый числовой коэффициент, встречается очень часто. В математике ее называют прямой пропорциональной зависимостью переменной величины  от переменной величины  или говорят также, что  - линейная функция от . Какова бы ни была конкретная природа переменных величин  и связанных соотношением , вы всегда можете утверждать, что, например, изменение  в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.