10.8. Условия целесообразности использования кодов с избыточностьюВнесение избыточности при кодировании сообщения, если основание кода В большинстве случаев уменьшение длительности элемента приводит к возрастанию вероятности ошибки. Так, например, при флюктуационных помехах это увеличение вероятности ошибок вызвано уменьшением энергии сигнала, а при сосредоточенных помехах — и расширением полосы частот, занимаемой сигналом. Поэтому вероятность ошибочного приема элемента при коде с избыточностью обычно больше, чем при коде без избыточности. Если это повышение вероятности ошибок не компенсируется исправляющей способностью кода, то внесение избыточности не повышает, а понижает верность приема. В связи с этим возникает вопрос о том, каким условиям должен удовлетворить код с избыточностью, чтобы его использование позволило повысить верность приема, по сравнению со случаем кодирования без избыточности, при том же времени передачи сообщения и той же мощности сигнала. Ответ на этот вопрос зависит от характеристик канала и применяемой системы сигналов. Чем резче увеличивается вероятность ошибки с укорочением элемента, тем труднее скомпенсировать возрастание ошибок избыточностью кода. Так, например, в гл. 7 было показано, что в каналах с многолучевым распространением сокращение длительности элемента до величины порядка разности хода лучей приводит к очень резкому возрастанию вероятности ошибок. В этих условиях применять код с избыточностью и сокращать при этом длительность элемента явно нецелесообразно. Более правильным решением было бы применение кода с большим основанием В некоторых случаях вероятность ошибки не возрастает или очень мало возрастает при укорочении длительности элемента сигнала. Так, в канале с относительно быстрыми замираниями сокращение длительности элемента хотя и уменьшает его энергию, но одновременно увеличивает корреляцию между значениями коэффициента передачи для соседних элементов. Поскольку эти два фактора действуют в противоположных направлениях, то в этих условиях укорочение элемента приводит обычно лишь к небольшому увеличению вероятности ошибки, а иногда (особенно для систем ОФТ) даже к ее уменьшению. При мощных, но редких и коротких импульсных помехах вероятность ошибок практически не зависит от длительности элемента. При коммутационных помехах (кратковременных обрывах связи), характерных для многих кабельных каналов, вероятность ошибки растет с технической скоростью передачи не быстрее, чем линейно (за счет увеличения числа элементов, попадающих на один обрыв). Во всех этих случаях применение корректирующих кодов, как правило, повышает верность. В дальнейшем в этом параграфе ограничимся случаем двоичных кодов в канале с флюктуационной помехой. Найдем условие целесообразности применения кода с избыточностью в системе с активной паузой при когерентном приеме в целом. Пусть средняя мощность сигнала и время, отведенное для передачи буквы сообщения (кодовой комбинации) Помехоустойчивость такой системы достаточно хорошо характеризуется минимальным котельниковским расстоянием между двумя кодовыми комбинациями
где В случае кода без избыточности пара ближайших кодовых комбинаций отличается только одним элементом. Поэтому на протяжении одного элемента подынтегральная функция в (10.48) отличается от нуля и равна
где В случае кода с избыточностью две ближайшие кодовые комбинации отличаются в Так как длительность элемента при этом коде равна
Следовательно, или
Если это условие не выполнено, то переход к коду с избыточностью приведет не к увеличению, а к уменьшению помехоустойчивости. Условию (10.51) удовлетворяют многие, но далеко не все систематические коды. Так, например, код, в котором Более жесткие условия должны быть наложены на параметры кода в случае поэлементного приема с исправлением ошибок, Для их вывода удобно воспользоваться понятием эквивалентной вероятности ошибок
где Пусть код позволяет исправить все ошибки кратностью
где В случае когерентного приема
Здесь учтено, что при переходе от кода с избыточностью к примитивному коду энергия сигнала увеличивается в Воспользовавшись асимптотическим выражением для
где Если
В случае некогерентного приема для ортогональных сигналов с активной паузой в [12] получено следующее выражение:
откуда условием целесообразности применения кода будет
Как легко проверить, из всех известных групповых кодов с
|