4.3. Решающая схема при абсолютно некогерентном приеме

Исходя из критерия максимального правдоподобия, найдем оптимальное правило решения при приеме одного элемента сигнала

          (4.19)

             

полагая начальную фазу  случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от 0 до :

.

С этой целью нужно найти условные плотности распределения вероятности   и определить наибольшую из них, соответствующую наиболее правдоподобному из возможных переданных сигналов. Эти плотности равны

,                                              (4.20)

где — плотность распределения вероятности приема сигнала  при условии, что передавался сигнал , а сдвиг фазы  принял значение .

Учитывая (3.2) и (4.4), можно выразить принятый сигнал в виде

    (4.21)

откуда

При известных  и  вероятность прихода сигнала  есть не что иное, как вероятность того, что величины  и , характеризующие реализацию помехи, примут значения

 

                                               (4.21а)

Если помеха представляет собой нормальный белый шум, то все  и  являются взаимно независимыми случайными величинами с нормальным распределением вероятностей. Примем сначала, что приемник анализирует составляющие сигнала с частотами ниже , где  сколь угодно большое, но конечное число. Тогда совместная плотность вероятностей  и  для  выразится так:

           (4.22)

Здесь    и, как было показано в гл. 3,

где   — спектральная плотность белого шума.

Исходя из (4.21) и (4.22), легко определить условную плотность вероятности приема сигнала  при передаче символа  и при :

(4.23)

Подставляя полученное выражение в (4.20), найдем условную плотность распределения сигнала  при передаче символа .

                                    (4.24)

причем суммирование везде распространяется от  до .

Воспользовавшись обозначениями (3.26) и введя дополнительно величины

                                        (4.25)

преобразуем подынтегральную функцию в (4.24) следующим образом:

Таким образом, обозначив , получим

Последний интеграл выражается через модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка [2]:

                                 (4.26)

Окончательно имеем

                          (4.27)

В соответствии с критерием максимального правдоподобия решение о том, что передавался сигнал  соответствующий символу , должно приниматься в том случае, когда при всех   или согласно (4.27), когда

                         (4.28)

Это правило решения можно представить в более удобном виде, прологарифмировав обе части неравенства:

                                               (4.28a)

Параметры , и  можно записать в интегральной форме:

              (4.29)

где   — сигнал, сопряженный с ;  и  — аналитические сигналы, соответствующие  и , а «звездочка» обозначает комплексно сопряженную функцию.

В справедливости выражений (4.29) легко убедиться, подставив в них (3.2), (4.5) и (4.7).

Рассмотрим схемы, реализующие полученный алгоритм.

 

Квадратурная схема

 

Правило решения (4.28а) является оптимальным при абсолютно некогерентном приеме. Исходя из него, можно построить схему приема (рис. 4.1), пригодную для любой заданной системы сигналов. Эта схема содержит  генераторов, воспроизводящих форму ожидаемых сигналов с точностью до фазы высокочастотного заполнения, и  пар перемножителей.

Рис 4.1. Решающая схема при сигнале с неопределенной фазой: А- перемножитель; Б – генератор; В – фазовращатель на 90 градусов; Г – интегратор; К – устройство с квадратичной характеристикой; Д – сумматор; Е – нелинейное устройство; Ж – вычитающее устройство.

На каждый из перемножителей поступает принятый сигнал (в сумме с помехой) и напряжение одного из местных генераторов непосредственно или с поворотом фазы на . Выходное напряжение каждого из перемножителей интегрируется таким же образом, как описано в гл. 3, в результате чего получаются напряжения, численно равные  и  (где  — произвольный масштаб воспроизведения формы сигналов).

Эти напряжения поступают на нелинейные устройства с квадратичной характеристикой, после чего напряжения, соответствующие одинаковым индексам , попарно складываются. Полученные суммарные напряжения численно равны .         Они поступают на нелинейные устройства с характеристикой

а затем на вычитающие устройства, в которых на вход напряжение уменьшается на величину, равную . Напряжения на выходе каждого тракта равны правой части или, при , левой части неравенства (4.28). Они сравниваются между собой, и наибольшее из них определяет тот из возможных символов, который Должен быть выбран решающей схемой. Схема рис. 4.1 называется квадратурной.

Рис 4.2. Решающая схема для сигналов с активной паузой и неопределенной начальной фазой: А - перемножитель; Б – генератор местного сигнала; В – фазовращатель на 90˚;  Г – интегратор; К – устройство с квадратичной характеристикой; Д – сумматор.

Полученное правило решения (4.28а) можно существенно упростить для систем с активной паузой, когда мощности всех вариантов сигнала одинаковы. Учитывая, что при  функция  является монотонно возрастающей, правило решения можно сформулировать так: идеальный приемник при системе с активной паузой и при неопределенной фазе сигнала должен регистрировать символ  и если при всех

.                                              (4.30)

Для систем с активной паузой квадратурная схема существенно упрощается (рис. 4.2). В этом случае не нужны нелинейные устройства  и вычитающие устройства , а на схему сравнения непосредственно подаются напряжения, численно равные .

 

Схема с согласованными фильтрами

 

Помимо квадратурных схем приема возможны и другие схемы, позволяющие принимать решение в соответствии с правилами (4.28) или (4.30). Такие схемы могут быть основаны на применении согласованных фильтров [3, 4].

Как было показано в гл. 3, фильтр, согласованный с сигналом , имеет импульсную реакцию

или с точностью до постоянного множителя

                       (4.31)

при

при других значениях  ( — любое, но одинаковое для всех фильтров данной схемы запаздывание).

Пусть приемник содержит согласованные фильтры для каждого из  вариантов ожидаемого сигнала. Принятый сигнал  поступает на входы всех фильтров. Напряжение  на выходе -го фильтра в некоторый момент , лежащий между  и  определится интегралом Дюамеля

                   (4.32)

Подставляя выражение  в виде ряда (3.2) и значение  из (4.31), найдем (полагая для упрощения  )

 

Допустимость почленного интегрирования двойного ряда во всех реальных случаях вытекает из физических соображений. Используя ортогональность тригонометрических функций, получаем

              (4.33)

Огибающая  напряжения  на выходе фильтра в соответствии с (4.9) и (4.5) равна

                                (4.34)

где

                 (4.35)

В момент  выражения (4.33) и (4.35) дают

откуда

                  (4.36)

Продетектировав напряжения с выходов каждого из фильтров детекторами с характеристиками детектирования  (как известно [1], такую характеристику детектирования имеет экспоненциальный детектор при большом сопротивлении нагрузки), получим на выходах детекторов такие же (с точностью до постоянного коэффициента) напряжения, как и на выходах нелинейных устройств  в схеме рис. 4.1. Из них вычитается  и в момент  они сравниваются между собой. Наибольшее из напряжений определяет тот символ, который должна выбрать решающая схема (рис. 4.3).

Напомним, что согласованные фильтры являются физически реализуемыми, если . Обычно .

Для систем с активной паузой в этой схеме также отпадает необходимость в вычитающих устройствах и на схему сравнения можно подавать непосредственно результат детектирования огибающих напряжений на выходах фильтров в момент . Характеристика детектирования в этом случае может быть любой, лишь бы она была одинаковой для всех детекторов в схеме, согласно правилу решения (4.30).

Обе приведенные схемы обеспечивают оптимальный некогерентный прием, поскольку они основаны на оптимальном правиле решения (в смысле критерия максимального правдоподобия). Заметим, что в случае ортогональной в усиленном смысле системы каждый сигнал в момент отсчета создает напряжение только на выходе одного из сумматоров в схеме квадратурного приема (рис. 4.1). На остальных выходах напряжения создаются только помехой. Это является следствием условия (4.18) и тождества (4.4). Аналогично в схеме рис. 4.3, если на вход фильтра поступает сигнал, ортогональный (в усиленном смысле) тому сигналу, с которым данный фильтр согласован, то огибающая выходного напряжения в момент отсчета равна нулю. Поэтому ортогональность в усиленном смысле иногда называют ортогональностью по огибающей.

Рис. 4.3. Решающая схема с согласованными фильтрами для сигналов с неопределенной начальной фазой: — согласованный фильтр для -гo сигнала;  — детектор с характеристикой ; — вычитающее устройство.

Так же, как и при когерентном приеме, согласованный фильтр в схеме рис. 4.3 можно заменить коммутируемым фильтром, имеющим на интервале  импульсную реакцию , а при  — произвольную импульсную реакцию при условии, что в момент отсчета  колебания в фильтре искусственно гасятся. Это особенно удобно для простых систем, когда коммутируемый фильтр представляет собой идеальный колебательный контур.

На рис. 4.4 изображена такая схема для простой двоичной системы с частотной манипуляцией (ЧТ), когда сигналы  и представляют собой отрезки синусоиды с различными частотами  и . На эти частоты настроены контуры, снабженные устройством, позволяющим гасить колебания в них после снятия отсчета. Как показано на рисунке, токи детекторов проходят в противоположных направлениях через сопротивление, и регистрация символа  или  осуществляется в зависимости от знака напряжения на сопротивлении в момент отсчета . Такую схему часто называют схемой с додетекторным интегрированием, впрочем без особых оснований.

Рис. 4.4. Схема приема сигналов с частотной манипуляцией с использованием коммутируемых фильтров.

Если бы контур был идеальным, то его импульсная реакция равнялась бы  при , где  - резонансная частота. При условии гашения колебания после отсчета он был бы вполне эквивалентен фильтру, согласованному с точностью до начальной фазы с сигналом   при . На рис. 4.5 показана огибающая  на выходе такого контура (на катушке связи в схеме рис. 4.4) при подаче на него синусоидального напряжения с резонансной частотой  и с частотой, отличающейся от  на .

В первом случае огибающая нарастает линейно, во втором случае она изменяется периодически и обращается в нуль в моменты времени, кратные. Если под  понимать разность частот сигналов  и  и если  кратна , то в момент отсчета каждый сигнал создает напряжение только на выходе своего детектора, тогда как на другом детекторе напряжения создаются только помехой. Как легко убедиться, это условие совпадает с условием ортогональности в усиленном смысле, которому, в частности, удовлетворяет система ЧТ (3.56).

Рис. 4.5. Огибающая напряжения на выходе идеального контура.

Реальный контур имеет потери, и его импульсная реакция равна

где ;  – добротность контура. При  эта импульсная реакция мало отличается от идеальной. Все же ход огибающих будет при этом отличаться от показанного на рис. 4.5, и в частности огибающая при  не обращается в нуль. Так, например, при  ход огибающих показан на рис. 4.6. Если здесь считать , то этому значению  соответствует .

Добиваясь высокой добротности контура, можно приблизиться к идеальному случаю, представленному на рис. 4.5. Заметим, что применение гашения колебаний позволяет осуществлять прием по схеме рис. 4.4 при сколь угодно высокой добротности контуров. Без гашения колебаний это было бы невозможно, так как в контуре с высокой добротностью сохранялись бы собственные колебания, вызванные предыдущими элементами принимаемого сигнала.

Рис. 4.6. Огибающая напряжения на выходе реального контура.