Примечания

1 (к § 4.2). Введенное здесь определение аналитического сигнала (4.7) несколько расходится с общепринятым. Обычно за мнимую часть аналитического сигнала принимают не функцию  выражаемую на интервале  сопряженным рядом (4.5) и равную вне этого интервала, а функцию , сопряженную с  по Гильберту, определяемую как главное значение интеграла

                                   (4.125)

Эта функция не обращается в нуль вне интервала .

Принятое здесь определение аналитического сигнала удобно для анализа помехоустойчивости при некогерентном приеме, поскольку ряд (4.5) естественным образом появляется при выводе оптимального правила решения, например, в (4.29).

Заметим, что если под  и  понимать не финитные функции, отличные от нуля только на интервале ,а периодические функции, выражаемые на всей оси времени рядами (3.2) и (4.5), то  совпадает с преобразованием Гильберта от , т. е.

                                        (4.126)

Вопрос о сходимости ряда (4.5) не возникает, поскольку мы везде предполагаем, что только конечное число его коэффициентов отлично от нуля.

2 (к § 4.3). Предположение о том, что начальная фаза  принимаемого сигнала распределена равномерно на интервале от 0 до , весьма естественно, но все же не может быть строго обосновано ничем, кроме эксперимента.

Если распределение  неизвестно, то для вывода правила решения можно воспользоваться обобщенным критерием максимального правдоподобия [26], т. е. считать, что передавался сигнал , если при всех

                               (4.127)

Для нахождения максимума по  от  продифференцируем (4.23) и, приравняв производную нулю, определим значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума. После простых преобразований получим, что максимум обеспечивается при

                                   (4.128)

Подставив это значение  в (4.23), найдем

откуда правило решения о передаче сигнала  принимает следующий вид:

при всех . Логарифмируя это неравенство, полупим

                                                       (4.129)

Для систем с активной паузой оно совпадает с правилом (4.30)

полученным при равномерном распределении .

3 (к § 4.3). При осуществлении квадратурной схемы приема вместо нелинейных устройств К (рис. 4.1 и 4.2) для возведении в квадрат результатов интегрирования можно воспользоваться более просто реализуемой схемой [27]. Для этого напряжения с выходов интеграторов, пропорциональные величинам  и , поступают на перемножители (рис. 4.27), на которые подаются соответственно напряжения  и  от вспомогательного генератора произвольной частоты  с произвольной амплитудой .

Рис. 4.27. Квадрирующее устройство для квадратурного приема.

После суммирования выходных напряжений этих перемножителей получается напряжение, пропорциональное , амплитуда которого пропорциональна . Эта амплитуда выделяется детектором Д с характеристикой  и поступает на схему сравнения непосредственно (при системе с активной паузой) или через пороговое устройство Ж (рис. 4.1 и 4.2). Легко видеть, что такая схема по получаемым результатам не отличается от схем рис. 4.1 и 4.2.

4 (к § 4.4). Коммутируемый фильтр в виде колебательного контура, в котором периодически (с периодом ) гасятся колебания, представляет собой линейную систему, с переменными параметрами. Если на вход этой системы в момент  подать гармоническое колебание некоторой частоты  с единичной амплитудой, то к моменту  амплитуда на выходе достигнет некоторого значения . Функцию , где  — резонансная частота, условно называют динамической амплитудно-частотной характеристикой коммутируемого фильтра.

Эта характеристика может быть вычислена с помощью интеграла Дюамеля, если учесть, что импульсная реакция коммутируемого фильтра равна , где  — затухание контура. Напряжение на выходе коммутируемого фильтра в момент

     (4.130)

где

Отсюда

                                 (4.131)

и

Для идеального контура () это выражение переходит в следующее:

откуда

Для расстроек , кратных , частотная характеристика идеального коммутируемого фильтра доходит до нуля. Это является другим выражением ортогональности отрезков гармонического колебания длительностью , отличающихся по частоте на .

В реальных коммутируемых фильтрах  и при  из (4.131) получаем

                          (4.132)

что совпадает со значениями статической частотной характеристики контура при тех же расстройках. Это совпадение имеет место только в точках  где — целое число. Полученные частотные характеристики представлены на рис. 4.28.

5 (к § 4.3). Наряду с описанными схемами, реализующими оптимальное правило решения для некогерентного приема, могут быть предложены и другие схемы, эквивалентные в отношении помехоустойчивости и имеющие те или иные преимущества с точки зрения их технического осуществления. Одной из таких схем является схема синхронного гетеродинирования, частично использованная в системе связи, известной под названием «Рэйк». Эта схема внешне напоминает схему когерентного приема (рис. 3.3) и рассчитана на прием сложных сигналов с большой базой. На рис. 4.29 изображена функциональная схема синхронного гетеродинирования для приема двоичных сигналов. По этому же принципу могут быть построены схемы для системы с любым основанием кода.

Рис 4.28. Частотная характеристика реального коммутируемого

фильтра: ——— - характеристика коммутируемого фильтра; ----- - статическая характеристика.

Пусть

где коэффициенты  принимают значения от  до . В состав приемного устройства входят местные генераторы (гетеродины), формирующие колебания  и  отличающиеся от сигналов тем, что они сдвинуты соответственно по частоте на некоторую величину  и :

Будем предполагать, что . Принимаемый сигнал  поступает на два перемножителя, к которым подведены соответственно

Рис. 4.29. Блок-схема синхронного гетеродинирования.

напряжения генераторов  и . Пользуясь введенными ранее обозначениями коэффициентов ряда Фурье, найдем напряжения  и  на выходах перемножителей:

       (4.133)

        (4.133а)

Напряжения  и  подаются на фильтры, согласованные с отрезками синусоиды с частотами соответственно  и , либо из заменяющие их коммутируемые фильтры. Легко убедиться, что к моменту отсчета  на выходе первого фильтра будет присутствовать только составляющая напряжения с частотой , амплитуда которого определяется членами (4.133) с разностной частотой при . Эта амплитуда равна

т е. пропорциональна величине  (4.25). Аналогично, на выходе второго фильтра амплитуда пропорциональна . Поэтому для реализации оптимального правила решения (4.30) достаточно выделить эти амплитуды детектором и сравнить их.

Такая схема удобна при использовании сигналов с большим значением базы . Согласованные (или коммутируемые) фильтры иногда при этом заменяют несогласованными (например, П-образными),  что позволяет снизить требования к частотной точности ценой соответствующего увеличения вероятности ошибок (см. § 4.5).

6 (к § 4.4 и 4.5). Попытаемся определить в общем виде для двоичной  системы с активной паузой проигрыш, возникающий при замене в схеме рис. 4.3 согласованных фильтров несогласованными. Пусть сигналами системы являются  и , а фильтры имеют импульсную реакцию  и . Рассмотрим вначале случай, когда передается сигнал  и обратим внимание на то, что вероятность ошибки в этом случае целиком определяется этим сигналом и характеристиками фильтров и не зависит от вида второго сигнала . Это следует из того, что от  не зависят напряжения, поступающие на схему сравнения. Поэтому вероятность ошибки при передаче сигнала  не изменится, если вместо сигнала  в рассматриваемой системе будет использоваться сигнал , согласованный с фильтром , где постоянная  выбрана так, чтобы энергии сигналов  и  были одинаковыми.

Заменим временно фильтр с импульсной реакцией  фильтром , согласованным с сигналом . Мы получили, таким образом, новую систему с сигналами  и  и согласованными фильтрами  и  Вероятность ошибки в такой системе с активной паузой определяется формулой (4.61), где величина  представляет отношение энергии сигнала  к спектральной плотности помехи, а величина  вычисляется по формулам (4.57) для сигналов  и .

Напомним, что огибающие напряжения на согласованных фильтрах в момент отсчета являются случайными величинами, имеющими, вообще говоря, обобщенное распределение Релея, причем отношение их регулярных составляющих равно .

Вернемся теперь к исходному фильтру  При этом напряжение на втором фильтре не изменится, а огибающая напряжения на фильтре  (в отсутствие помехи) окажется несколько меньше, чем на согласованном фильтре  Обозначим отношение значений огибающей на согласованном () и несогласованном () фильтрах в момент отсчета через . Если повысить мощность сигнала  в  раз, то на фильтре  получим такое же значение огибающей, какое раньше было на фильтре . Но при этом в  раз возрастает и напряжение на фильтре , т. е. величина  как бы увеличится также в  раз. Если величина  близка к единице, то в первом приближении вероятность ошибки при передаче сигнала  с мощностью, увеличенной в  раз, определится формулой (4.61а), если в ней заменить  на . Вернемся теперь к исходной мощности сигнала. При этом величина  уменьшится в  раз и, следовательно, вероятность ошибки при передаче сигнала  в реальной схеме с фильтрами  и  равна

                   (4.134)

где  определяется для сигналов  и  а  — отношение значений огибающей в момент отсчета на фильтрах  и  при подаче на них сигнала :

 — сигнал, согласованный с фильтром  и имеющий ту же энергию, что и сигнал .

Аналогично можно определить и вероятность ошибки при передаче сигнала .

7 (к § 4.5). Результаты, полученные для приема с интегрированием после детектора, в частности формулы (4.93) и (4.95), справедливы лишь с той степенью точности, с какой можно пренебречь остаточными напряжениями на разделительных фильтрах от предыдущих элементов сигнала и с какой можно считать нормальным распределение флюктуации на выходе интегратора. В действительности, при конечном значении , это распределение вероятностей отличается от нормального. Асимметрия распределения вероятности флюктуации (особенно заметная на выходе интегратора, в котором присутствует только шум) увеличивает вероятность ошибок. При больших значениях  абсолютное значение этой поправки очень мало. Однако если сама вероятность ошибки низка (что имеет место при ), то относительная погрешность указанных формул может стать весьма существенной. Поэтому чем больше , тем больше должно быть и значение  при котором полученные выражения дают хорошее приближение.

Если это обстоятельство не учитывать, можно прийти к парадоксальному выводу о возможности получения в неоптимальной схеме вероятности ошибки, меньшей предела, определяемого теорией потенциальной помехоустойчивости. Действительно, положив, например, в (4.95а) величину  фиксированной и выбрав величину , удовлетворяющую условию

                           (4.135)

получим

             (4.136)

В действительности такой вывод неверен, так как при условии (4.135) относительная погрешность применения нормального распределения вероятностей столь велика, что формулами (4.93) и (4.95) пользоваться уже нельзя.

Кроме того, при больших значениях  начинают сказываться те небольшие напряжения, которые остаются на выходе разделительных фильтров (а следовательно, и на выходе детектора) после предыдущего элемента сигнала и поступают на интегратор. Учет этих напряжений, проделанный В.С. Котовым, показывает, что для больших  они существенно повышают вероятность ошибки, даже при  порядка 100. При этом оказывается целесообразным подавать напряжение с выхода детектора на интегратор (или последетекторный фильтр) не с самого начала элемента сигнала, а пропустив некоторую его часть (например, ). За это время остаточные колебания в достаточной мере затухают и не сказываются заметно на помехоустойчивости. Но при этом, конечно, соответствующая часть энергии сигнала не используется, так что вероятность ошибок все же оказывается большей, чем дают формулы (4.93) и (4.95).

Таким образом, парадокс является кажущимся и вероятность ошибок при приеме сигналов ЧТ в схеме с интегрированием после детектора не может быть меньшей, чем при оптимальном некогерентном приеме, т. е. чем . Впрочем, она может быть достаточно близкой к этой величине.

Как заметил В. С. Мельников [28], в реальных приемниках фильтры после детектора часто присутствуют в неявной форме, в виде инерционности реле, буквопечатающих аппаратов и т. д. Некоторые инженеры не учитывают этого и считают, что вероятность ошибки определяется формулой (4.78). Поэтому они возлагают большие надежды на то, что, уменьшив полосу пропускания разделительных фильтров (что становится возможным, например, после принятия мер для повышения стабильности частоты в радиолинии), они получат пропорциональный энергетический выигрыш. Эти надежды часто не сбываются, поскольку с учетом неявного последетекторного фильтра вероятность ошибки определяется формулами, близкими к (4.93) или (4.95), и уменьшение , хотя и дает некоторый выигрыш в помехоустойчивости, но значительно меньший ожидаемого (ср. рис. 4.19).

8 (к § 4.6). Формула (4.102) или, точнее, аналогичная ей формула (4.106) для вероятности ошибок при некогерентном приеме сигналов двоичной ОФТ, была впервые опубликована в краткой заметке [29] без какого-либо указания на то, каким образом она найдена. В первом издании этой книги формула (4.102) была выведена довольно сложным методом, с использованием полученного в [30] распределения вероятностей разности фаз между двумя отсчетами суммы постоянного сигнала и нормального шума. Несколько другим путем, но тоже основанным на результатах [30], эта формула была выведена в статье [31].

Предложенный здесь подход, учитывающий, что решение о передаваемом сигнале ОФТ принимается на основе анализа приходящего сигнала на интервале , позволил получить формулу (4.102) как непосредственное обобщение формулы (4.49).