5.4. Влияние скорости замираний на вероятность ошибокВ этом параграфе мы по-прежнему полагаем замирания медленными в том смысле, что в формуле (5.6а) или (5.6б) существенно превышает длительность элемента сигнала . Однако мы не будем считать это превышение столь значительным, чтобы и практически не изменялись на протяжении . При этом правила решения, выведенные для отсутствия замирания или для замираний с нулевой скоростью, уже не будут, вообще говоря, оптимальными. Тем не менее, учитывая медленность замираний, можно полагать, что эти правила решения останутся достаточно близкими к оптимальным. Поэтому предположим, что производится некогерентный прием по правилу, определенному для замираний с нулевой скоростью (которое в случае системы с активной паузой совпадает с оптимальным правилом для канала без замираний), и попытаемся хотя бы приближенно оценить, насколько изменится вероятность ошибок, если учесть, что величина за время в небольших пределах изменяется. Итак, пусть принимаемый элемент сигнала , ; , (5.60) где - передававшийся элемент сигнала; и - медленно изменяющиеся функции, являющиеся реализациями двух сопряженных гауссовских процессов. Обозначим средние за время значения и через и : (5.61) Очевидно, что и являются нормальными случайными величинами, поскольку они получены в результате линейной операции интегрирования гауссовских процессов. Определим их математические ожидания и дисперсии: (5.62) (5.63) Здесь замена переменных и учет четности коэффициента корреляции произведены так же, как при выводе уравнения (4.90). Аналогично , (5.63а) , (5.63б) поскольку, как было указано в § 5.1, нечетная функция. Введем также обозначения (5.64) Теперь принимаемый сигнал (5.60) при передаче можно записать следующим образом: , (5.65) и рассматривать его как сумму полезного сигнала, заключенного в фигурные скобки, где составляющие коэффициента передачи остаются постоянными на интервале , помехи и дополнительного члена, заключенного в квадратные скобки. Этот дополнительный член является случайным процессом. Он поступает на решающую схему и, вообще говоря, влияет на вероятность ошибок. Но это влияние может быть различным в зависимости от вида сигнала. Для того чтобы пояснить это, рассмотрим два крайних случая. а) Дополнительный член добавляется к полезному сигналу. Это имеет место в том случае, когда коэффициент взаимной корреляции между полезным сигналом и дополнительным членом равен единице, например, в такой системе, где сигналы представляют собой очень короткие импульсы, возникающие в различные моменты времени (считая от момента начала отсчета элемента сигнала). Легко убедиться, что при этих условиях дополнительный член действует на решающую схему так же, как и полезный сигнал. Очевидно, что в этом случае вероятность ошибок выражается такими же формулами, как и при нулевой скорости замираний. б) Дополнительный член добавляется к помехе. Это происходит в тех случаях, когда дополнительный член статистически независим от полезного сигнала и может рассматриваться как случайный шум. Типичным примером может служить система, в которой сигналы представляют собой различные реализации нормального шума с равномерным спектром в некоторой достаточно широкой полосе частот . Тогда будет также нормальным шумом практически в той же полосе частот. В первом приближении к этому случаю можно отнести системы ФТ и ОФТ, а также системы ЧТ при малом разносе частот соседних сигналов (порядка ). Между этими двумя крайними случаями возможны и различные промежуточные. Так, дополнительный член может оказаться ортогональным ко всем реализациям сигнала. Тогда его мощность вычитается из мощности сигнала, но не добавляется к помехе. Возможны также случаи, когда лишь часть дополнительного члена следует отнести к помехе. Однако, поскольку нас интересует лишь приближенная оценка влияния скорости замираний, можно ограничиться рассмотрением случая б). Составляющие коэффициента передачи для «полезного сигнала» и на протяжении одного элемента не изменяются, а могут меняться только скачком в момент смены элемента. Как указывалось в предыдущем параграфе, при этом остаются справедливыми все зависимости, полученные для замираний с нулевой скоростью. Необходимо только учесть, что энергия «полезного сигнала» в (5.65) уменьшилась на величину энергии процесса , которая добавилась к помехе. На основании (5.63) легко видеть, что средняя мощность полезного сигнала в (5.65) равна , (5.66) где - исходная мощность сигнала; - отношение мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих; - безразмерная величина, зависящая только от коэффициента корреляции замираний и длительности элемента сигнала и равная . (5.67) При замираниях с нулевой скоростью, когда на всем интервале интегрирования можно полагать , из (5.67) следует, что . Поскольку уменьшение мощности полезного сигнала вследствие конечной скорости замираний касается только его флюктуирующей части, то коэффициент несколько увеличивается и становится равным . (5.68) Одновременно мощность помехи увеличивается на величину , а ее спектральную плотность можно считать в первом приближении равной , (5.69) где - условная полоса частот системы; - ee база. Таким образом, все формулы, полученные для замираний с нулевой скоростью, остаются справедливыми для этого случая, если в них заменить на и на , где . (5.70) В частности, для двоичной ортогональной системы ЧТ с разносом частот, равным , учитывая, что , получим из формулы (5.17) . (5.71) При (т. е. при замираниях с нулевой скоростью) эта формула переходит в (5.17). С уменьшением вероятность ошибки довольно быстро возрастает, особенно при больших и малых . Если увеличивать мощность сигнала, т. е. величину , то в пределе при , в отличие от всех рассмотренных ранее случаев, вероятность ошибки стремится не к нулю, а к конечному значению . (5.72) Этот результат не следует считать неожиданным. Замирания с конечной скоростью представляют собой мультипликативную помеху, которая с некоторой вероятностью может сделать сигнал более похожим на другой сигнал , даже при полном отсутствии аддитивной помехи. Эта вероятность стремится к нулю, когда скорость замираний уменьшается, т. е. стремится к единице. При релеевских замираниях из формулы (5.71) получим , (5.71а) а предел, к которому стремится вероятность ошибки, когда стремится к бесконечности, равен . (5.72а) В такой же двоичной системе ЧТ, если разнос частот значительно больше , предельная вероятность ошибок оказывается значительно меньше, чем (5.72). Если положить в (5.70) , то и вместо (5.71) получим , (5.73) а при релеевских замираниях . (5.73a) Здесь с увеличением вероятность ошибок стремится к нулю хотя и медленнее, чем при замираниях с нулевой скоростью. На рис. 5.10 построены кривые, рассчитанные по формулам (5.71) и (5.73) для различных значений при и . Они наглядно показывают, что следует проявлять большую осмотрительность при попытках уменьшать разнос частот в системах ЧТ, если скорость замираний в канале заметно отличается от нулевой. Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичных ортогональных сигналов с активной паузой. Таким же образом можно рассмотреть и другие системы. Мы остановимся несколько подробнее на двоичной системе ОФТ. Используем такой же подход, как и в гл. 4, т. е. будем исходить из того, что эту систему можно считать ортогональной, если рассматривать сигнал на интервале . Поэтому усреднение составляющих коэффициента передачи будем производить на указанном интервале, полагая (5.74) Рассуждая таким же образом, как и ранее, найдем, что скорость замираний при некогерентном приеме двоичных сигналов ОФТ можно в первом приближении учесть, заменив в формуле (5.13) величину на , а величину на , где . (5.75) В результате такой замены получим . (5.76) Эта зависимость при различных значениях и приведена на рис. 5.11. Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичной системы ОФТ. При релеевских замираниях . (5.76а) Предельная вероятность ошибки, когда стремится к бесконечности, равна при квазирелеевских замираниях , (5.77) а при релеевских замираниях . (5.77а) Поскольку всегда (если не считать случаи замираний с нулевой скоростью, когда ), то предельная вероятность ошибок в системе ОФТ больше, чем в системе ЧТ (с разносом ) при работе в том же канале и с той же скоростью. Если система ЧТ (с разносом частот ) позволяет в некотором канале с медленными замираниями получить заданную вероятность ошибки при каких то значениях и , то такая же вероятность ошибки будет в системе ОФТ при том же значении и вдвое меньшем (т. е. вдвое большей технической скорости передачи). В этом легко убедиться, сравнивая формулу (5.76) с (5.71) и формулу (5.75) с (5.67). Значения и можно вычислить, зная коэффициент корреляции замираний и длительность элемента сигнала . В частности, если аппроксимируется колоколообразной кривой (5.6в), то . При (а только для этого случая можно считать допустимым применяемый здесь подход) . (5.78) Аналогично . (5.78а) Если учесть, что при этих условиях значение коэффициента корреляции для , то полученный результат можно записать так: , . Для экспоненциального коэффициента корреляции (5.6г) или при . (5.79) Аналогично . В системе ОФТ (а также в других системах, в которых мощность дополнительного члена добавляется к мощности помехи, например, ЧТ при малом разносе частот) увеличение длительности элемента сигнала при неизменной мощности не всегда повышает верность приема. С увеличением уменьшается величина (или ), что может привести иногда к увеличению вероятности ошибки, несмотря на возрастание . Поэтому в таких системах должно существовать оптимальное значение , обеспечивающее наиболее эффективную передачу информации. Отыскание оптимальной длительности элемента сигнала с учетом всех разнообразных факторов представляет очень трудную задачу. Ограничимся более частной постановкой вопроса - найдем, при каком значении мощность сигнала, необходимая для получения заданной вероятности ошибок , минимальна. Для системы ОФТ при релеевских замираниях из (5.76а): . Полагая, что выражается формулой (5.6в), и подставляя значение из (5.78а), а также выражая через , получим . Отсюда легко найти значение , при котором значение минимально: . (5.80) Если сек (довольно типичное значение для протяженного коротковолнового канала), то при изменении от до величина меняется от 1,5 до 4 мсек, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Для системы ЧТ с разносом частот из (5.71а) и (5.78) таким же образом найдем . (5.80а) При сек и оптимальное значение лежит в пределах от 16 до 44 мсек. Следует подчеркнуть, что выражения (5.80) определяют только относительный оптимум, обеспечивающий минимум мощности сигнала при заданной вероятности ошибок. Если задаваться не вероятностью ошибок, а скоростью передачи информации (зависящей как от , так и непосредственно от ), то результат будет иным.
|