5.4. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок
В этом параграфе мы по-прежнему полагаем замирания медленными в том смысле, что в формуле (5.6а) или (5.6б)
существенно превышает длительность элемента сигнала
. Однако мы не будем считать это превышение столь значительным, чтобы
и
практически не изменялись на протяжении
. При этом правила решения, выведенные для отсутствия замирания или для замираний с нулевой скоростью, уже не будут, вообще говоря, оптимальными. Тем не менее, учитывая медленность замираний, можно полагать, что эти правила решения останутся достаточно близкими к оптимальным. Поэтому предположим, что производится некогерентный прием по правилу, определенному для замираний с нулевой скоростью (которое в случае системы с активной паузой совпадает с оптимальным правилом для канала без замираний), и попытаемся хотя бы приближенно оценить, насколько изменится вероятность ошибок, если учесть, что величина
за время
в небольших пределах изменяется.
Итак, пусть принимаемый элемент сигнала
,
;
, (5.60)
где
- передававшийся элемент сигнала;
и
- медленно изменяющиеся функции, являющиеся реализациями двух сопряженных гауссовских процессов.
Обозначим средние за время
значения
и
через
и
:
(5.61)
Очевидно, что
и
являются нормальными случайными величинами, поскольку они получены в результате линейной операции интегрирования гауссовских процессов. Определим их математические ожидания и дисперсии:
(5.62)
(5.63)
Здесь замена переменных и учет четности коэффициента корреляции произведены так же, как при выводе уравнения (4.90).
Аналогично
, (5.63а)
, (5.63б)
поскольку, как было указано в § 5.1,
нечетная функция.
Введем также обозначения
(5.64)
Теперь принимаемый сигнал (5.60) при передаче
можно записать следующим образом:
, (5.65)
и рассматривать его как сумму полезного сигнала, заключенного в фигурные скобки, где составляющие коэффициента передачи остаются постоянными на интервале
, помехи
и дополнительного члена, заключенного в квадратные скобки.
Этот дополнительный член

является случайным процессом. Он поступает на решающую схему и, вообще говоря, влияет на вероятность ошибок. Но это влияние может быть различным в зависимости от вида сигнала. Для того чтобы пояснить это, рассмотрим два крайних случая.
а) Дополнительный член добавляется к полезному сигналу. Это имеет место в том случае, когда коэффициент взаимной корреляции между полезным сигналом и дополнительным членом равен единице, например, в такой системе, где сигналы
представляют собой очень короткие импульсы, возникающие в различные моменты времени
(считая от момента начала отсчета элемента сигнала). Легко убедиться, что при этих условиях дополнительный член действует на решающую схему так же, как и полезный сигнал. Очевидно, что в этом случае вероятность ошибок выражается такими же формулами, как и при нулевой скорости замираний.
б) Дополнительный член добавляется к помехе. Это происходит в тех случаях, когда дополнительный член статистически независим от полезного сигнала и может рассматриваться как случайный шум. Типичным примером может служить система, в которой сигналы
представляют собой различные реализации нормального шума с равномерным спектром в некоторой достаточно широкой полосе частот
. Тогда
будет также нормальным шумом практически в той же полосе частот. В первом приближении к этому случаю можно отнести системы ФТ и ОФТ, а также системы ЧТ при малом разносе частот соседних сигналов (порядка
).
Между этими двумя крайними случаями возможны и различные промежуточные. Так, дополнительный член может оказаться ортогональным ко всем реализациям сигнала. Тогда его мощность вычитается из мощности сигнала, но не добавляется к помехе. Возможны также случаи, когда лишь часть дополнительного члена следует отнести к помехе. Однако, поскольку нас интересует лишь приближенная оценка влияния скорости замираний, можно ограничиться рассмотрением случая б). Составляющие коэффициента передачи для «полезного сигнала»
и
на протяжении одного элемента не изменяются, а могут меняться только скачком в момент смены элемента. Как указывалось в предыдущем параграфе, при этом остаются справедливыми все зависимости, полученные для замираний с нулевой скоростью. Необходимо только учесть, что энергия «полезного сигнала» в (5.65) уменьшилась на величину энергии процесса
, которая добавилась к помехе.
На основании (5.63) легко видеть, что средняя мощность
полезного сигнала в (5.65) равна
, (5.66)
где
- исходная мощность сигнала;
- отношение мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих;
- безразмерная величина, зависящая только от коэффициента корреляции замираний
и длительности элемента сигнала
и равная
. (5.67)
При замираниях с нулевой скоростью, когда на всем интервале интегрирования можно полагать
, из (5.67) следует, что
.
Поскольку уменьшение мощности полезного сигнала вследствие конечной скорости замираний касается только его флюктуирующей части, то коэффициент
несколько увеличивается и становится равным
. (5.68)
Одновременно мощность помехи увеличивается на величину
, а ее спектральную плотность можно считать в первом приближении равной
, (5.69)
где
- условная полоса частот системы;
- ee база.
Таким образом, все формулы, полученные для замираний с нулевой скоростью, остаются справедливыми для этого случая, если в них заменить
на
и
на
, где
. (5.70)
В частности, для двоичной ортогональной системы ЧТ с разносом частот, равным
, учитывая, что
, получим из формулы (5.17)
. (5.71)
При
(т. е. при замираниях с нулевой скоростью) эта формула переходит в (5.17). С уменьшением
вероятность ошибки довольно быстро возрастает, особенно при больших
и малых
.
Если увеличивать мощность сигнала, т. е. величину
, то в пределе при
, в отличие от всех рассмотренных ранее случаев, вероятность ошибки стремится не к нулю, а к конечному значению
. (5.72)
Этот результат не следует считать неожиданным. Замирания с конечной скоростью представляют собой мультипликативную помеху, которая с некоторой вероятностью может сделать сигнал
более похожим на другой сигнал
, даже при полном отсутствии аддитивной помехи. Эта вероятность стремится к нулю, когда скорость замираний уменьшается, т. е.
стремится к единице.
При релеевских замираниях
из формулы (5.71) получим
, (5.71а)
а предел, к которому стремится вероятность ошибки, когда
стремится к бесконечности, равен
. (5.72а)
В такой же двоичной системе ЧТ, если разнос частот значительно больше
, предельная вероятность ошибок оказывается значительно меньше, чем (5.72). Если положить в (5.70)
, то
и вместо (5.71)
получим
, (5.73)
а при релеевских замираниях
. (5.73a)
Здесь с увеличением
вероятность ошибок стремится к нулю хотя и медленнее, чем при замираниях с нулевой скоростью.
На рис. 5.10 построены кривые, рассчитанные по формулам (5.71) и (5.73) для различных значений
при
и
. Они наглядно показывают, что следует проявлять большую осмотрительность при попытках уменьшать разнос частот в системах ЧТ, если скорость замираний в канале заметно отличается от нулевой.

Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичных ортогональных сигналов с активной паузой.
Таким же образом можно рассмотреть и другие системы. Мы остановимся несколько подробнее на двоичной системе ОФТ. Используем такой же подход, как и в гл. 4, т. е. будем исходить из того, что эту систему можно считать ортогональной, если рассматривать сигнал на интервале
. Поэтому усреднение составляющих коэффициента передачи будем производить на указанном интервале, полагая
(5.74)
Рассуждая таким же образом, как и ранее, найдем, что скорость замираний при некогерентном приеме двоичных сигналов ОФТ можно в первом приближении учесть, заменив в формуле (5.13) величину
на
,
а величину
на
,
где
. (5.75)
В результате такой замены получим
. (5.76)
Эта зависимость при различных значениях
и
приведена на рис. 5.11.

Рис. 5.11. Влияние скорости замираний на вероятность ошибок для двоичной системы ОФТ.
При релеевских замираниях 
. (5.76а)
Предельная вероятность ошибки, когда
стремится к бесконечности, равна при квазирелеевских замираниях
, (5.77)
а при релеевских замираниях
. (5.77а)
Поскольку всегда
(если не считать случаи замираний с нулевой скоростью, когда
), то предельная вероятность ошибок в системе ОФТ больше, чем в системе ЧТ (с разносом
) при работе в том же канале и с той же скоростью.
Если система ЧТ (с разносом частот
) позволяет в некотором канале с медленными замираниями получить заданную вероятность ошибки
при каких то значениях
и
, то такая же вероятность ошибки будет в системе ОФТ при том же значении
и вдвое меньшем
(т. е. вдвое большей технической скорости передачи). В этом легко убедиться, сравнивая формулу (5.76) с (5.71) и формулу (5.75) с (5.67).
Значения
и
можно вычислить, зная коэффициент корреляции
замираний и длительность элемента сигнала
. В частности, если
аппроксимируется колоколообразной кривой (5.6в), то
.
При
(а только для этого случая можно считать допустимым применяемый здесь подход)
. (5.78)
Аналогично
. (5.78а)
Если учесть, что при этих условиях значение коэффициента корреляции для 
,
то полученный результат можно записать так:
,
.
Для экспоненциального коэффициента корреляции (5.6г)

или при 
. (5.79)
Аналогично
.
В системе ОФТ (а также в других системах, в которых мощность дополнительного члена
добавляется к мощности помехи, например, ЧТ при малом разносе частот) увеличение длительности элемента сигнала
при неизменной мощности не всегда повышает верность приема. С увеличением
уменьшается величина
(или
), что может привести иногда к увеличению вероятности ошибки, несмотря на возрастание
. Поэтому в таких системах должно существовать оптимальное значение
, обеспечивающее наиболее эффективную передачу информации.
Отыскание оптимальной длительности элемента сигнала с учетом всех разнообразных факторов представляет очень трудную задачу. Ограничимся более частной постановкой вопроса - найдем, при каком значении
мощность сигнала, необходимая для получения заданной вероятности ошибок
, минимальна. Для системы ОФТ при релеевских замираниях из (5.76а):
.
Полагая, что
выражается формулой (5.6в), и подставляя значение
из (5.78а), а также выражая
через
, получим
.
Отсюда легко найти значение
, при котором значение
минимально:
. (5.80)
Если
сек (довольно типичное значение для протяженного коротковолнового канала), то при изменении
от
до
величина
меняется от 1,5 до 4 мсек, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Для системы ЧТ с разносом частот
из (5.71а) и (5.78) таким же образом найдем
. (5.80а)
При
сек и
оптимальное значение
лежит в пределах от 16 до 44 мсек.
Следует подчеркнуть, что выражения (5.80) определяют только относительный оптимум, обеспечивающий минимум мощности сигнала при заданной вероятности ошибок. Если задаваться не вероятностью ошибок, а скоростью передачи информации (зависящей как от
, так и непосредственно от
), то результат будет иным.