6.4. Неоптимальные методы разнесенного приема

В практике радиосвязи при разнесенном приеме еще достаточно часто используются некогерентные решающие схемы, отличающиеся от оптимальных. Существует много вариантов таких схем. Зная распределение вероятностей коэффициентов передачи, можно в принципе вычислить вероятность ошибок для любой схемы и сравнить ее с оптимальной схемой. Здесь мы ограничимся лишь несколькими примерами, относящимися к ортогональным (в усиленном смысле) системам с активной паузой. Замирания в различных ветвях приема будем считать некоррелированными.

 

Схема выбора по максимуму правдоподобия

 

Эта схема (рис. 6.5) применяется при двоичных системах и основана на том, что прием осуществляется в одной ветви, причем выбирается та ветвь, в которой модуль разности  максимален. Эта разность пропорциональна логарифму отношения правдоподобия, чем и объясняется название схемы.

Как уже указывалось, при сдвоенном приеме эта схема полностью эквивалентна схеме квадратичного сложения и поэтому является оптимальной. При  эта схема отличается от оптимальной.

Для вычисления вероятности ошибок обозначим

.

Нетрудно показать, что случайные величины  при передаче символа  имеют одинаковые плотности вероятностей

.                        (6.41)

Ошибка происходит при одном из  несовместимых событий, заключающихся в том, что в -й ветви величина  отрицательна и превышает по абсолютной величине значения  в остальных  ветвях. Вероятность такого события равна

Следовательно, вероятность ошибки

Из соображений симметрии очевидно, что такой же будет вероятность ошибки и при передаче символа . Подставив сюда (6.41) и изменив обозначения переменных, найдем

             (6.42)

Полученный интеграл легко вычисляется при любом значении . Выражение его в общем виде не приводим вследствие громоздкости. При  вероятность ошибки совпадает с (6.37), что подтверждает оптимальность схемы выбора для сдвоенного приема в двоичной системе. Для  из выражения (6.42) следует, что

Для сравнения этой схемы со схемой квадратичного сложения при строенном приеме вычислим  для  по (6.36):

.

При  для схемы квадратичного сложения , а для схемы выбора по максимальному правдоподобию . Энергетический проигрыш в схеме выбора по сравнению с оптимальной схемой составляет при этом 0,2 дБ. Таким образом, при строенном приеме схема выбора по максимуму правдоподобия почти не уступает оптимальной.

 

Схема выбора по максимальной мощности

 

Одной из наиболее распространенных схем разнесенного приема является схема выбора по максимальной мощности (рис. 6.8). Здесь в каждой ветви имеется своя решающая схема (такая же, как и при одиночном приеме), но окончательное решение определяется по той ветви, в которой мощность принимаемого сигнала больше, чем в остальных ветвях. Существует много разновидностей таких схем, отличающихся методом сравнения мощностей сигналов в ветвях и методом переключения ветвей, на которых мы не будем останавливаться. Основная идея, положенная в основу таких схем, заключается в том, что при замираниях наиболее правильное решение может быть получено в той ветви, в которой коэффициент передачи  в данный момент принял наибольшее значение. Однако измерять непосредственно коэффициенты передачи трудно из-за помех. Поэтому такое измерение заменяется измерением мощности принимаемых сигналов (в сумме с помехами).

Рис. 6.8. Схема выбора по максимальной мощности.

Для оценки помехоустойчивости такой схемы вычислим вероятность ошибок при сдвоенном приеме двоичных сигналов.

Мощность принимаемого сигнала будем оценивать по величине суммы . Если передавался символ , то ошибка может произойти в результате одного из двух несовместимых событий:

1)  и при этом

или

2)  и при этом .

Исходя из соображений симметрии, можно определить вероятность ошибки как

                       (6.43)

Обозначим

и найдем вероятность того, что , которая, очевидно, совпадает с вероятностью неравенства . Плотности вероятностей  и  могут быть получены из (6.18)

                    (6.44)

(индексы «+» и «-» соответствуют наличию или отсутствию соответствующего сигнала), откуда

.

Подставив сюда значение , найдем

                (6.45)

Для того чтобы найти вероятность, записанную в правой части (6.43), нужно усреднить (6.45) по всем значениям  и , удовлетворяющим условию . Удваивая эту вероятность, находим вероятность ошибок

            (6.46)

Полученная зависимость изображена на рис. 6.9 (кривая 2). Сравнивая ее с кривой 1, построенной по формуле (6.37) для квадратичного сложения, можно убедиться, что различие между ними несущественно.

Рис. 6.9. Вероятность ошибок в ортогональных двоичных системах для различных схем сдвоенного приема: 1 - схема квадратичного сложения; 2 - схема выбора по максимальной мощности; 3 - схема общего сравнения.

Если , то при квадратичном сложении , а при выборе по максимальной мощности , т. е. энергетический проигрыш в схеме выбора по максимальной мощности (по сравнению с оптимальной схемой не когерентного сложения) не превышает 0,8 дБ.

 

Схема общего сравнения

 

В схеме общего сравнения (рис. 6.10) некогерентный разнесенный прием осуществляется следующим образом. В каждой ветви формируются значения  (путем квадратурного приема или с помощью согласованных фильтров). Все эти значения сравниваются между собой в едином устройстве сравнения и решение принимается в соответствии с индексом максимальной из величин .

Рис. 6.10. Схема разнесенного приема по методу общего сравнения.

Перейдем, как и в предыдущем случае, от величин  к величинам  , плотности вероятностей которых выражаются формулами (6.44).

Правильный прием при передаче некоторого символа  имеет место при появлении одного из  несовместимых и равновероятных событий, заключающихся в том, что некоторая величина   превосходит каждую из остальных  величин .

Вероятность правильного приема поэтому равна

а вероятность ошибки

             (6.47)

Эта вероятность ошибки, конечно, больше, чем в случае оптимальной схемы квадратичного сложения (6.38). Однако вычисления показывают, что различие между этими вероятностями всегда незначительно.

В частном случае сдвоенного приема в схеме сравнения, подставив в (6.47) , получим

.       (6.48)

Для сдвоенного приема двоичных сигналов, подставив в (6.48) , после простых преобразований найдем

       (6.49)

или при

.                                       (6.49а)

Зависимость (6.49) представлена на рис. 6.9 (кривая 3). Различие помехоустойчивости схем сравнения и квадратичного сложения практически неощутимо. Энергетический проигрыш в схеме общего сравнения относительно оптимальной схемы квадратичного сложения при сдвоенном приеме двоичных сигналов не превышает 0,4 дб.

Для двоичных систем при  в схеме общего сравнения из (6.47) находим

.     (6.50)

Эта вероятность мало отличается от (6.38). Энергетический проигрыш по сравнению со схемой квадратичного сложения при  не превышает 0,8 дб. Схема общего сравнения наиболее просто реализуется при разнесенном приеме по частоте.

 

Схема линейного сложения

 

Одной из наиболее простых схем разнесенного приема является схема линейного сложения, которая реализует следующее правило решения для приема символа :

.      (6.51)

Здесь в каждой ветви имеется своя схема вычисления величин , такая же, как при одиночном приеме, а окончательное решение производится по результатам линейного суммирования значений . Такое правило может быть реализовано в схеме рис. 6.4, в которой исключается операция возведения в квадрат. К сожалению, в общем случае вероятность ошибки в схеме линейного сложения не удается выразить в элементарных функциях. Тем не менее для сдвоенного приема двоичных систем при независимых релеевских замираниях эту вероятность удается получить относительно просто.

Плотность распределения вероятностей случайных величин

 и

можно получить в следующем виде [7, задача 3.10]:

,

при .

при  ;

,

при ,

                         (6.52)

при , где  - функция Крампа.

Теперь вероятность ошибки можно найти обычным путем:

.                      (6.53)

Подставляя (6.53) в (6.52) и производя несложные, но довольно громоздкие вычисления, получаем

.    (6.54)

При высокой верности приема, когда , формула (6.54) допускает простое асимптотическое представление:

.                   (6.55)

Сравнивая этот результат с (6.37) убеждаемся, что энергетический проигрыш при переходе от квадратичного сложения к линейному не превышает 0,2 дб. Таким образом, более простая схема линейного сложения имеет практически такую же помехоустойчивость, что и оптимальная схема.

Резюмируя выводы этого параграфа, можно утверждать, что все практически применяемые методы разнесенного приема обеспечивают помехоустойчивость, мало отличающуюся от потенциальной. Поэтому нельзя получить заметный выигрыш в помехоустойчивости путем применения каких-либо новых схем разнесенного приема. Не следует, однако, забывать, что все полученные результаты применимы к реальной аппаратуре лишь при условии, что она действительно функционирует в соответствии с рассмотренными правилами решения. Фактически помехоустойчивость реальной аппаратуры разнесенного приема часто оказывается значительно хуже теоретической вследствие отклонений от правила решения.

В частности, такие отклонения вызываются различием усиления в ветвях разнесенного приема. Дальнейшее обсуждение этого вопроса выходит за пределы настоящей работы [4].