Примечания

1. (к § 6.2). В работе Бреннана [2] и в ряде других зарубежных работ выигрыш разнесенного приема оценивается не по уменьшению вероятности ошибки, а только по увеличению отношения мощности сигнала к мощности помехи. Полученное из этих соображений правило решения по существу совпадает с (6.7). Тем не менее, такой чисто энергетический подход может привести к ошибочным выводам. Следует учитывать, что помехоустойчивость и другие информационные характеристики канала связи определяются не только энергетическими соотношениями, но и распределениями вероятностей параметров сигнала и помехи.

В частности, при разнесенном приеме выигрыш помехоустойчивости определяется не столько увеличением результирующего значения , сколько уменьшением дисперсии этой величины. Поэтому выигрыш существенно зависит от корреляции между коэффициентами передачи в различных ветвях приема, тогда как, по Бреннану, он от корреляции не зависит [20].

В связи с этим следует подчеркнуть, что, сравнивая между собой различные системы или схемы приема по энергетическому выигрышу, мы имеем в виду не фактическое изменение отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума, а лишь эквивалентное изменение вероятности ошибок.

2. (к § 6.3). Правила решения (6.28) и (6.29) соответствуют обобщенному критерию максимума правдоподобия и поэтому оптимальны в таких условиях, когда распределения вероятностей коэффициентов передачи неизвестны. Если предположить, что приемное устройство предназначено для канала, в котором точно известно распределение вероятностей коэффициентов передачи, то можно воспользоваться критерием максимума правдоподобия и получить правило решения, заменив в (6.25) операцию взятия максимума усреднением по , . Полученное правило, при данной статистике замираний, обеспечит, вообще говоря, более высокую верность, чем (6.28).

В частном случае релеевских некоррелированных замираний при ортогональных сигналах с активной паузой это правило совпадает с (6.29) [8]. Оптимальная решающая схема разнесенного приема при некоррелированных квазирелеевских замираний получена в [10]. Эта схема достаточно сложна, а по помехоустойчивости, как показано в [10], она не намного лучше схемы квадратичного сложения, основанной на правиле (6.29). На рис. 6.11 показана зависимость вероятности ошибок от  при различных значениях отношения мощностей регулярной и флюктуирующей составляющих сигнала для схемы квадратичного сложения. С увеличением доли регулярной составляющей вероятность ошибок при разнесенном приеме уменьшается, так же как и при одиночном приеме. Но энергетический выигрыш разнесенного приема тем меньше, чем больше регулярная составляющая.

Оптимальное правило решения для разнесенного приема при коррелированных релеевских замираниях, когда коэффициент корреляции известен, получено в [11]. Там же вычислены вероятности ошибок для некоторых вариантов корреляционной матрицы. В частности, для сдвоенного приема вероятность ошибок оказывается равной

.        (6.60)

Эта вероятность ошибок при не очень больших значениях практически совпадает с полученной для схемы квадратичного сложения (6.40). В худшем случае, при , энергетический проигрыш схемы квадратичного сложения не превышает 1 дб [12].

Рис. 6.11. Вероятность ошибки в канале с квазирелеевскими замираниями:

  - сдвоенный прием;                    одиночный прием.

Выражения для вероятностей ошибок при коррелированных замираниях и  получены в [6, 9, 11, 13, 15] и в ряде других работ. В [11] определена также помехоустойчивость при разнесенном приеме неортогональных сигналов.

Следует обратить внимание на то, что коэффициент взаимной корреляции двух релеевских величин (так же как и коэффициент автокорреляции релеевского процесса) является неотрицательной величиной. Поэтому разнесенный прием при релеевских замираниях наиболее эффективен, когда замирания в ветвях взаимно некоррелироваины. В общем случае, когда замирания не релеевские, возможна и отрицательная корреляция замираний. Очевидно, что разнесенный прием при отрицательно коррелированных замираниях более эффективен, чем при независимых замираниях в ветвях разнесения.

К сожалению, анализ разнесенного приема при коррелированных не релеевских замираниях сопряжен с большими трудностями, поскольку многомерное распределение коэффициентов передачи в этом случае не определяется однозначно двумя моментами. Результаты, полученные для сдвоенного приема в двухлучевой модели каналов (5.96), а также их некоторые обобщения будут опубликованы в работе [4].

3. (к § 6.3). Некогерентный разнесенный прием в двоичной системе ОФТ можно рассматривать с позиций, изложенных в гл. 4. Т. е. исходя из того, что решение принимается на основе анализа сигнала на интервале . При этом сигналы оказываются ортогональными в усиленном смысле, а энергию элемента сигнала следует также определять на удвоенном интервале времени. Поэтому для системы ОФТ вероятность ошибок также определяется формулами (6.36)—(6.38), (6.40), (6.42), (6.46), (6.48), (6.54) (в зависимости от схемы разнесенного приема и наличия корреляции замирании), в которых, однако, следует заменить  на . Разнесенный прием сигналов ОФТ рассмотрен более подробно в [4, 13, 14, 15].

4. (к § 6.3). Формула (6.38) для релеевских замирании, как показано в [15], справедлива не только при некогерентном разнесенном приеме методом квадратичного сложения, но и при оптимальном когерентном разнесенном приеме двоичных сигналов, если под  понимать вероятность ошибки для одиночного когерентного приема. В частности, она справедлива для разнесенного приема сигналов ФТ.

5. (к § 6.3). Все выражения для вероятностей ошибок, приведенные в тексте, получены в предположении, что средние значения отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи во всех ветвях разнесения одинаковы и равны . В некоторых случаях это не имеет места. Оптимальная схема некогерентного разнесенного приема, когда в -й ветви разнесения отношение энергии сигнала к спектральной плотности помехи равно                  (, …, )  и значения  известны, получена в [8]. Вероятность ошибки при сдвоенном приеме в такой схеме и релеевских замираниях равна

.          (6.61)

Если же значения  неизвестны, то оптимальной (в смысле обобщенного критерия максимума правдоподобия) остается схема квадратичного сложения. Вероятность ошибки при этом равна [12].

.                (6.62)

В частности, для сдвоенного приема из этой формулы имеем

.                           (6.62а)

При выводе этих формул предполагалось, что спектральная плотность помехи во всех ветвях одинакова, а мощности сигналов различны.

Сравнение (6.62а) с (6.61) показывает, что при  и  обе эти формулы асимптотически совпадают:

.                 (6.62б)

Иногда используется метод разнесенного приема с когерентным сложением сигналов и последующим некогерентным детектированием [19]. По помехоустойчивости он занимает промежуточное положение между оптимальным когерентным разнесенным приемом и квадратичным сложением. Вероятность ошибки в общем случае, когда средние значения отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи  в разных ветвях не одинаковы, как показано в [19], равна

.                     (6.63)

Как уже указывалось, вероятность ошибки в реальных схемах разнесенного приема бывает выше теоретической главным образом вследствие неодинаковых коэффициентов усиления в ветвях разнесения. При релеевских замираниях и сдвоенном приеме по схеме квадратичного сложения, а также по схеме выбора по максимальной мощности зависимость вероятности ошибки от асимметрии коэффициентов усиления вычислена в [12]. Интересно отметить, что схема квадратичного сложения значительно менее чувствительна к асимметрии, чем схема выбора по максимуму мощности.

6. О пропускной способности канала при разнесенном приеме. Разнесенный прием позволяет извлечь большее количество информации из сигнала, чем одиночный. Поэтому можно говорить об увеличении пропускной способности канала при использовании разнесенного приема.

В случае оптимального когерентного сложения можно оценить пропускную способность, исходя из теоремы Бреннана [2], согласно которой результирующее отношение мощности сигнала к мощности помехи равно сумме соответствующих отношений во всех ветвях. Если все ветви идентичны, то

.                      (6.64)

При  (прием на разнесенные антенны) отношение сигнала к помехе увеличивается в  раз. Следует отметить, что такой же результат можно было бы получить, используя одиночный прием на антенну, площадь которой равна сумме площадей всех разнесенных антенн. Если замирания отсутствуют, то пропускную способность в этом случае можно найти, подставив в формулу Шеннона (3.84) вместо  величину , понимая под  мощность сигнала в одной ветви приема. При релеевских замираниях, если последние жестко коррелированы во всех ветвях, можно таким же образом найти пропускную способность подставив  вместо  в формулу (5.85). Если же замирания в ветвях не коррелированы, то, как отмечалось в примечании 1, помимо сложения мощностей имеет место уменьшение дисперсии величины  и при очень больших значениях  условия приема приближаются к условиям в канале без замираний, а пропускная способность — к (3.84) при замене  на .

При  из (6.64) следует, что результирующее значение  не увеличивается, а при  даже уменьшается с увеличением . В этих условиях разнесенный прием позволяет увеличить пропускную способность только за счет снижения дисперсии , т. е. при пересчете на одинаковую результирующую мощность сигнала пропускная способность с увеличением  приближается от (5.85) к (3.84). Как уже указывалось, максимальное различие между значениями этих выражений не превышает 17%.

В работе [16] вычислена пропускная способность при разнесенном приеме в отсутствии замираний, но с учетом корреляции помех в ветвях разнесения. В [17] определена пропускная способность канала, образованного путем выбора ветви с максимальным коэффициентом передачи, при релеевских замираниях. Такая схема физически не осуществима, так как наличие помех не позволяет точно измерить коэффициенты передачи, но она может служить приближенной математической моделью схемы выбора по максимальной мощности. Для пропускной способности получено выражение

,

где  — средняя мощность сигнала в одной ветви. При  это выражение совпадает с (5.85), а с увеличением  оно приближается к пропускной способности канала без замираний с мощностью сигнала .

Безотносительно к схеме сложения пропускная способность разнесенного приема при релеевских и гауссовских замираниях вычислялась в работе [18] как верхняя грань скорости передачи информации, содержащейся в совокупности принимаемых сигналов во всех ветвях относительно передаваемого сигнала, при варьировании по всем возможным передаваемым сигналам с заданной средней мощностью. При этом помеха считалась нормальной, но не обязательно с равномерным спектром. Учитывалась корреляция коэффициентов передачи, а также помех в ветвях разнесения.