9.3. Критерии приема и решающие схемы
В любой синхронной системе уплотнения элемент принимаемого сигнала несет информацию о сообщениях, исходящих от всех
источников. Пусть сообщение каждого источника закодировано кодом с основанием
. Тогда, как было указано, число реализаций сигнала равно
. Если к системе предъявляется требование максимизации вероятности правильного приема всех передаваемых сообщений, то решающая схема должна определяться критерием идеального наблюдателя. В частном случае, когда все реализации сигнала равновероятны, этот критерий совпадает с критерием максимума правдоподобия.
Пусть
— принимаемый сигнал. Решающая схема, основная на критерии идеального наблюдателя, должна отождествить его с тем из возможных передаваемых сигналов
, для которого выполняется система неравенств
,
. (9.3)
Определив наиболее вероятный переданный сигнал
и зная построение системы, можно однозначно установить, какой символ передавался каждым источником.
Хотя правило решения (9.3) обеспечивает максимум вероятности правильного приема всех сообщений в уплотненном канале, оно не всегда гарантирует минимум вероятности ошибок
в каждом из сообщений. Это легко понять, если учесть, что при ошибочном отождествлении принятого сигнала
с переданным
не все сообщения будут приняты ошибочно. Критерий идеального наблюдателя, на основании которого получено правило (9.3), относится ко всему принимаемому сигналу и минимизирует вероятность ложного отождествления сигнала
независимо от того, сколько сообщений будут при этом поражены ошибкой.
Если требуется минимизировать вероятность ошибок в каждом из сообщений, то критерий идеального наблюдателя следует применять к отдельным сообщениям. Рассмотрим
-й источник в системе уплотнения. Все
реализаций сигнала
можно разделить на
подмножеств, каждое из которых соответствует одному из символов
-го сообщения. Решающая схема, на которую поступает сигнал
, должна определить апостериорные вероятности всех символов в данном сообщении и выбрать из них тот, для которого она максимальна. Другими словами, в
-м сообщении должен быть зарегистрирован символ
, если
,
. (9.4)
Здесь верхний индекс у
означает номер сообщения в системе уплотнения.
Таким же образом определяются наиболее вероятные символы остальных сообщений.
Пусть
и
означают подмножества реализаций сигнала
, соответствующие символам
и
в
- м сообщении. Правило (9.4) можно записать так:
, (9.5)
для всех
.
Для многих систем уплотнения правило (9.5) совпадает с (9.3). Однако существуют системы, для которых правила (9.3) и (9.5) не эквивалентны и приводят к различным решающим схемам и к различным распределениям ошибок [5]. В этих случаях возникает вопрос, каким же из двух правил следует пользоваться?
На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Наиболее подходящее правило следует определять в зависимости от требований, предъявляемых к системе связи, и от характера передаваемых сообщений. Пусть, например, при кодировании сообщений в значительной степени устранена избыточность. Тогда любая ошибка, возникшая при приеме, почти полностью обесценивает все сообщение, а в некоторых случаях может привести к непоправимым последствиям. В этой ситуации было бы неверным стремиться к уменьшению среднего числа ошибок в сообщении, а следует увеличивать вероятность безошибочного приема всего сообщения. Так, например, решающая схема, которая обеспечивает в 50% случаев безошибочный прием сообщения, а в остальных 50% случаев один ошибочно принятый символ, будет в такой ситуации хуже, чем другая решающая схема, обеспечивающая в 90% случаев безошибочный прием, а в 10% случаев — по 100 ошибочных символов, хотя во втором случае среднее число ошибок будет в 20 раз больше, чем в первом. Очевидно, что в подобных условиях разумно пользоваться правилом (9.3), т. е. минимизировать
.
В других же случаях, например при передаче текста, содержащего значительную избыточность, разумнее пользоваться правилом (9.5), минимизируя
, поскольку небольшое число ошибок в каждом сообщении может быть исправлено по контексту.
Для сравнения между собой систем с различной кратностью уплотнения можно пользоваться либо вероятностями ошибок
в отдельных сообщениях, либо эквивалентной вероятностью ошибки
. Последняя по аналогии с (2.65) связана с
монотонной зависимостью
. Поэтому условие минимума
совпадает с условием минимума
.
Если отвлечься от способа формирования сигнала уплотняющими сообщениями, можно рассматривать сигнал
, передаваемый по уплотненному каналу любой синхронной системе, как полученный путем кодирования всех передаваемых сообщений кодом с основанием
. Тогда
представляет собой попросту вероятность ошибки в системе связи с основанием кода
, и задача ее вычисления ничем не отличается от рассмотренной в предыдущих главах. Правда, она решена далеко не во всех случаях. Ниже будет дано ее решение для некоторых систем уплотнения. Наряду с этим будут получены также выражения для
.
Независимо от правила решения вероятность ошибки в общем сигнале
и вероятность ошибки в
-м сообщении
связаны следующими неравенствами:
. (9.6)
Действительно, поскольку
представляет вероятность того, что хотя бы одно из сообщений принято ошибочно, она не может быть меньше вероятности ошибки
в любом из сообщений и в то же время не может быть больше суммы вероятностей ошибок во всех сообщениях. Первое неравенство переходит в равенство, если ошибки в сообщениях происходят одновременно; второе неравенство переходит в равенство, если при всяком ошибочном отождествлении сигнала ошибка имеет место только в одном из сообщений.
Будем обозначать
и
вероятности ошибок в
- м сообщении при использовании правил решений соответственно (9.3) и (9.5). Аналогичные обозначения
и
примем для вероятностей ошибочного отождествления уплотненного сигнала. Из сущности критериев, использованных при выводе правил решения, имеем
. (9.7)
Совместное использование неравенств (9.6) и (9.7) позволяет оценить изменение вероятностей ошибок при переходе от одного правила решения к другому. Так
,
где
— средняя вероятность ошибок по всем
сообщениям, откуда
. (9.8)
С другой стороны,
,
откуда
. (9.9)
Для некоторых систем уплотнения эти неравенства будут уточнены ниже.