16 ДЕРЕВЬЯ. СКЕЙЛИНГОВЫЕ ОСТАТКИ. НЕОДНОРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

В настоящей главе обсуждается нитевидные фрактальные деревья и другие почти масштабно-инвариантные фракталы, т. е. масштабно-инвариантные за исключением пренебрежимо малого во фрактальном смысле остатка. Эти фракталы оказываются неоднородными в том смысле, что для разных частей таких множеств размерности  и/или/  принимают различные значения. Оглядываясь же назад, мы видим, что все рассмотренные до сих пор фракталы можно охарактеризовать как однородные.

Понятие о множестве скейлинговых остатков

Стандартные интервалы. Полуоткрытый интервал , включающий в себя правую концевую точку и не включающий левую, является масштабно-инвариантным, так как он состоит из  уменьшенных копий себя  и . А вот открытый интервал нельзя считать масштабно-инвариантным, так как кроме  своих копий меньшего масштаба и  он включает в себя и среднюю точку . Я предлагаю назвать эту среднюю точку скейлинговым (или масштабным) остатком. При вычислении  - и во многих других случаях – ею можно пренебречь. Физик сказал бы, что она характеризуется меньшим физическим порядком величины, чем целое и части.

Приведенный пример может ввести нас в искушение рассматривать все остаточные члены как порожденные излишней педантичностью усложнения, никак не влияющие на результат масштабирования. Однако в аналогичных примерах, относящихся к фракталам, которые я называю неоднородными фракталами, остаток может приобрести неожиданно большую значимость. Неоднородный фрактал – это сумма (или разность) множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Ни одно из этих множеств нельзя полностью исключить из рассмотрения, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и в топологическом смысле. И между ними часто возникают конфликты с весьма интересными и значительными последствиями.

Канторовы пылевидные множества и изолированные точки. Построим канторову пыль, разделив интервал  на  части,  и сохранив крайние  и . Альтернативный способ – удаление интервалов  и  - дает ту же пыль и остаточную точку . Эта изолированная точка не является фракталом, так как и , и  в этом случае равны 0.

При обобщении на пространство  канторова пыль имеет размерности  и , а для нефрактального множества остатков верно равенство . То есть остаток вполне может превосходить пыль топологически и/или фрактально.

Фрактальные деревья, остаточные члены которых представляют собой интервалы

На рис. 223 представлены зонтичные деревья с бесконечно тонкими стволами. К жизни они совершенно не приспособлены, и в главе 17 мы постараемся несколько увеличить  их адекватность в качестве моделей реальных растений. И все же даже эти «остовы» деревьев представляют большой интерес для многих областей математики. Топологу все они показались бы одинаковыми, так как, на его взгляд, любое дерево состоит из бесконечно упругих нитей, и наши деревья также можно растягивать, или сжимать до тех пор, пока они не совпадут друг с другом. Однако эти деревья все-таки различаются и сточки зрения здравого смысла, и как фракталы.

Концы ветвей. Дерево представляет собой сумму двух множеств (ветвей и концов ветвей), размерности которых уживаются друг с другом очень интересным способом. Более простой для изучения частью дерева является множество концов ветвей – фрактальная пыль, похожая на многие другие известные нам пылевидные множества. Она масштабно-инвариантна: , а  лежит в интервале между  и . Следовательно,  варьируется от 2 до 0, хотя фигуры на рисунке имеют размерность  от 1 до 2. Угол между ветвями принимает при каждом разветвлении одно и то же значение ; это значение может изменяться в довольно широких пределах, никак не влияя на  и . То есть одна и та же размерность  может характеризовать весьма различные древесные формы.

Когда , деревья самопересекаются при , следовательно, если мы хотим обойтись без самопересечений, то выбор доступных значений  сужается. Деревья на рис. 223 удовлетворяют условию , однако мы начнем с предположения, что .

Деревья. На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения , концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью , а ветви (неважно, с включенными концами или нет) – кривую с размерностью . Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. В самом деле, чтобы отделить от множества точку  и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если  - конец ветви), либо две (если  принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если  - точка ветвления).

Перейдем к фрактальному аспекту. Размерность множества концов ветвей , а размерность каждой ветви 1. Что касается целого, то оно, не будучи масштабно-инвариантным, все же характеризуется фрактальной размерностью, определяемой по формуле Хаусдорфа – Безиковича, причем эта размерность не может быть ни меньше , ни меньше 1, а на деле оказывается равной большей из двух величин. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Фрактальные деревья.  Когда , фрактальная размерность всего дерева равна . Несмотря на то, что ветви доминируют в конструкции как с точки зрения здравого смысла, так и топологически, во фрактальном смысле ими можно пренебречь. Так как , дерево представляет собой фрактальное множество, в котором величина  служит мерой ветвления. Таким образом, нам открывается еще одна грань фрактальной размерности в добавление к ее способности выступать качестве меры иррегулярности и фрагментации. Когда мы перейдем в главе 17 к не нитевидным деревьям, мы обнаружим, что гладкая поверхность с достаточным количеством острых локализованных «выступов» может оказаться чем-то «бóльшим», чем стандартная поверхность.

Субфрактальные  деревья. В случае  линейная мера (совокупная длина) всего дерева конечна и положительна, так что его фрактальная размерность неизбежно равна 1. Следовательно, , т. е. такое дерево не является фрактальным.

Тем не менее, если подобрать единицы измерения таким образом, чтобы длина ствола составила  , то ветви (рассматриваемые как открытые интервалы) можно будет разместить вдоль пустот линейной канторовой пыли , которая занимает интервал  и характеризуется теми же значениями  и , что и множество концов ветвей. Аналогичным образом, на множестве  можно разместить и сами концы ветвей. Получается, что интервал  целиком заполняется отображениями точек нашего дерева. Не отображаются только те точки, на которых держатся ветви. Эти точки образуют счетное остаточное множество.

Вспомним о замечании, сделанном нами по поводу чертовой лестницы на рис. 125 – ее форма необычна, но фракталом она не является. Если важность этих форм будет возрастать и далее, им может понадобиться особое и тщательно выбранное название. Пока же остановимся на субфракталах.

В качестве последнего эксперимента заменим прямолинейные ветви фрактальными кривыми с размерностью . Когда , фрактальные свойства дерева определяются ветвями, а все дерево целиком представляет собой фрактал с размерностью . В случае же  наше дерево будет фракталом с размерностью .

Неоднородные фракталы

Думаю, настала пора вводить новое определение. Фрактал  называется однородным, если все множества, полученные в результате пересечения  с диском или шаром, центр которого принадлежит , имеют одинаковую топологическую  и фрактальную  размерности.

Очевидно, что кривые Коха, канторова пыль, разветвленные кривые и т. д. являются однородными фракталами. А остовы деревьев с  из предыдущей главы следует отнести к фракталам неоднородным.

Вообще говоря, деревья могут считаться фракталами только отчасти: пересечение дерева и достаточно малого диска, центр которого принадлежит ветви, не является фракталом, но состоит из одного или нескольких интервалов.

Фрактальные кроны

До сих пор мы полагали, что деревья, изображенные на рис. 223, пусть едва-едва, но все же избегают самокасаний. На самом же деле, концы ветвей этих деревьев асимптотически касаются друг друга. В результате множество концов ветвей перестает быть пылью с  и становится кривой с  без малейшего изменения фрактальной размерности. Для описания этого нового класса фрактальных кривых я предлагаю термин расширенные фрактальные кроны. Заметим, что длина тени такой кроны возрастает с увеличением .

Кривую, ограничивающую открытую область снаружи получающейся в результате фигуры, назовем просто «фрактальной кроной». Благодаря отсутствию «складок», присущих расширенной кроне, размерность этой кривой не дотягивает до  на величину, которая возрастает с увеличением .

Поскольку для деревьев жизненно важен солнечный свет, ветви, заканчивающиеся в складках расширенной фрактальной кроны, скорее всего, засохнут. Садовник может либо позволить каким-то ветвям вырасти, а затем засохнуть из-за отсутствия света, либо составить более сложную программу, которая запретит расти именно этим ветвям. Я предпочел бы более простую программу.

Когда , слияние пыли с размерностью  в кривую невозможно. Если попытаться добиться самокасания посредством уменьшения угла  между ветвями, то цель будет достигнута лишь тогда, когда угол станет равным 0 и дерево стянется в интервал. Если же пойти другим путем и зафиксировать длину тени дерева, а самокасания добиваться посредством вытягивания ветвей вверх, то цель не будет достигнута никогда: в пределе из дерева получится комбинация линейной канторовой пыли  и свисающих из каждой точки  полупрямых.

Деревья без остаточных членов

Многообразие фрактальных деревьев не сводится к тем формам, которые мы рассмотрели в предыдущих разделах. Вспомним, например, конструкцию, описанную на с. 202. А теперь возьмем в качестве кохова генератора крест, ветви которого имеют следующие длины:  (верхняя),  (нижняя),  (боковые), причем выполняется равенство . Каждая ветвь получившегося фрактального дерева, какой бы малой она ни была, в изобилии окружена подветвями. А если исключить корневую точку, то такие деревья масштабно-инвариантны без остатка.

Физика высоких энергий: реактивные струи

Фейнман [149] пишет, что благодаря фрактальным деревьям он смог представить себе и смоделировать «струи», образующиеся при столкновениях частиц очень высоких энергий. Эту идею исследовал Дж. Венециано, о чем он сообщает в отчетах CERN.

Рис. 223. Фрактальные зонтичные деревья и фрактальные кроны

Каждое дерево на этом рисунке имеет бесконечно тонкий ствол и неизменный угол  между ветвями. Размерность  варьируется между 1 и 2, причем для каждого  угол  принимает наименьшее возможное без самокасаний значение.

При , чуть большем 1 (вверху слева), результат похож на веник. При увеличении  ветви раскрываются, вследствие чего «крона» расширяется и образует складки, укрытые от солнечного света. При взгляде на такую конструкцию вспоминаются цветы некоторых разновидностей вида Brassica oleracea – таких, например, как цветная капуста (B. o. botrytis) и брокколи (B, o. italica). Интересно, насколько значительным может оказаться тот факт, что геометрические различия между цветной капустой и брокколи частично определяются фрактальной размерностью?

Фигура, получаемая при бóльших  (внизу слева), может напомнить французу о фортификационных сооружениях близ Вобана. Значения  и  дают дерево, заполняющее плоскость. При дальнейшем увеличении угла  (внизу справа) приходится снова уменьшать размерность , при этом всякое сходство с зонтиком пропадает, уступая место искривленному орнаменту, который странным образом ассоциируется с классическими древнеиндийскими скульптурами, изображающими танцующих людей.

На одной из наиболее известных иллюстраций в книге д ' Арси Томпсона «Рост и форма» [568] показано отображение друг на друга черепов рыб различных видов путем непрерывных и гладких преобразований в евклидовом духе. Преобразования, способные отобразить друг на друга приведенные на нашем рисунке деревья, вдохновлены тем же источником, но весьма отличны по духу.