VIII СТРАТИФИЦИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ

23 СЛУЧАЙНЫЙ ТВОРОГ: КОНТАКТНЫЕ КЛАСТЕРЫ И ФРАКТАЛЬНАЯ ПЕРКОЛЯЦИЯ

В этой группе глав мы поговорим о том, как с помощью различных, порой до смешного простых, приемов можно получить весьма эффективные случайные фракталы. Предметом главы 23 является рандомизация створаживания – процедура, используемая для приблизительного построения канторовой модели шума (см. главу 8), модели распределения галактик на основе пространственной канторовой пыли (см. главу 9), модели турбулентной перемежаемости (см. главу 10) и т.п. Глава 24 посвящена в основном представлению моих сквиг-кривых – нового рандомизированного варианта кривой Коха. В главе 25 мы коснемся броуновского движения, а в главе 26 определим другие фракталы со «случайным срединным смещением»

Вынесенный в заголовок этой группы глав термин «стратифицированный» (иначе – расслоенный, от латинского strata «слой») означает, что во всех рассматриваемых прецедентах мы будем иметь дело с фракталами, построенными посредством наложения друг на друга слоев, причем каждый из последующих слоев дает более мелкие по сравнению с предыдущим детали. Во многих случаях слои располагаются в иерархической последовательности. Вообще говоря, до сих пор мы изучали исключительно стратифицированные фракталы, пусть никто об этом прямо и не говорил. Однако в последующих главах мы убедимся в том, что случайные фракталы отнюдь не обязаны быть стратифицированными.

Фракталы в данной главе строятся на сетке или решетке, составленной из интервалов, квадратов или кубов, каждый из которых делится на  подынтервалов, подквадратов или подкубов ( - решеточная база).

Рандомизированная линейная пыль

Построение простейшей случайной пыли, способной усовершенствовать канторову модель ошибок при передаче (см. главу 8), начинается с простейшей формы канторова створаживания: с решетки интервалов с базой  и некоторого целого числа . Однако вместо одного конкретного генератора нам предлагается список всех возможных канторовых генераторов, т.е. всех различных рядов, состоящих из  заполненных  и  пустых промежутков. На каждом этапе построения случайным образом и с одинаковой вероятностью выбирается один из этих генераторов.

Любая принадлежащая творогу точка  определяется последовательностью вложенных «предтворожных» интервалов с длинами . Если общая исходная масса рана 1, то каждый предтворог содержит одинаковую массу . Масса, содержащаяся в интервале длины   с центром в точке , равна произведению  на некоторую случайную величину, лежащую в интервале от 1 до 2 и не зависящую от .

Заметим, что размерность  ограничена последовательностью  . Это ограничение часто причиняет неудобства. Что более важно, вышеприведенное определение створаживания сложно реализуется в компьютерной программе и вообще плохо поддается аналитическим манипуляциям. Так как главное достоинство модели створаживания заключается в ее простоте, более предпочтительным, очевидно, окажется альтернативное определение, которое мы дадим в последующих разделах. Во избежание путаницы будем называть определение, приведенное в этом разделе, ограниченным (в [378] я предлагал иной термин: микроканоническое определение).

Створоженная случайная линейная пыль

Более удобное определение створаживания (предложенное в [378], где я называю его каноническим) можно получить с помощью последовательности случайных двоичных выборов, каждый из которых определяется простым броском монеты. Бросок монеты на первом этапе решает последующую судьбу каждого из подынтервалов. Если выпадает орел (событие с вероятностью ), то данный подынтервал «выживает» как часть предтворога; в противном случае мы с ним больше не встретимся. Изолированные точки, остающиеся между «мертвыми» подынтервалами любой длины, после каждого этапа стираются. Здесь, конечно, от них вреда немного, однако их плоскостные или пространственные аналоги (изолированные линии и т.д.) порождают в множестве ложную связность. Ожидаемое количество выживших подынтервалов равно . Далее процесс возобновляется, причем каждый подынтервал обрабатывается независимо от других.

Формализм процесса рождения. Если назвать подынтервалы «детьми», а весь каскад – «семьей», то сразу станет ясно, что распределение количества детей определяется известным процессом рождения и гибели (см. [196]).

Фундаментальным следствием этого наблюдения является существование для величины  критического значения: этот факт был открыт в 1845 году Иренеем Бьянеме (см. [212]) и вполне заслуженно называется эффектом Бьянеме.

Значение  является критическим в том смысле, что количество  наличествующих в  - м поколении отпрысков ставит нас перед очень простой альтернативой. Если , то семейство почти наверняка вымрет, и в настоящей интерпретации это означает, что каскад даст, в конце концов, пустое множество. Если же , то генеалогическая линия каждого творога имеет ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. В этом случае случайное створаживание дает в пределе случайную линейную пыль.

Смысл размерности подобия. Так как отношение  здесь изменяется случайным образом, понятие размерности подобия требует переосмысления. Из почти истинного соотношения

можно предположить, что обобщенная размерность подобия выглядит следующим образом:

.

При таком определении  условие существования непустого предельного множества  принимает весьма логичный вид: . Если , то . Если же мы формально применим эту формулу к случаю , то получим , однако фактически размерность  пустого множества всегда равна 0.

Вложенные твороги с уменьшающейся размерностью

Построим последовательность случайных творогов с уменьшающейся размерностью , каждый из которых вложен в предыдущий.

Предварительный этап не зависит от величины  и заключается  в присвоении каждому вихрю (неважно какого порядка) некоторого случайного числа  из интервала от 0 до 1. Из главы 21 нам известно, что все эти числа, взятые в совокупности, эквивалентны одному – единственному числу, которое служит мерой вклада случайности в данный процесс. Далее выбираем значение  и определяем из последней записанной нами формулы порог вероятности . Наконец, происходит собственно створаживание посредством, если можно так выразиться процесса «фрактальной децимации». При  вихрь «умирает», переходя в простоквашу и унося с собой все свои субвихри. Если же , то вихрь можно считать выжившим и готовым к дальнейшему створаживанию.

Этот метод позволяет представлять все характеристики творога, простокваши и всех остальных интересующих нас множеств в виде функций от непрерывно изменяющейся размерности. Достаточно зафиксировать случайные числа  , уменьшая при этом значение  от 1 до 0, и мы получим размерность , уменьшающуюся от 3 до 0.

Пусть даны твороги  и , соответствующие вероятностям  и  и имеющие размерности  и . Тогда преобразование  в  можно назвать «относительной фрактальной децимацией» и охарактеризовать относительной вероятностью  и относительной размерностью . Для того, чтобы произвести относительную децимацию вручную, следует разыскать вихри со стороной , принадлежащие множеству , и определить их дальнейшую жизнь вероятностью . Затем поступаем аналогичным образом с выжившими вихрями (длина стороны ) и т.д. Относительные вероятности в получающемся путем последовательных децимаций ряду  перемножаются, а относительные размерности складываются  до тех пор, пока значение суммы не становится отрицательным, а множество  - пустым.

Створаживание галактик по хойлу

У ограниченного створаживания имеется пространственный аналог, который можно использовать при геометрической реализации творожной модели распределения  галактик, предложенный Хойлом (см. рис. 310 и 311).

Рис. 310 и 311. Реализация модели Хойла (размерность ) с использованием случайного створаживания на решетке

Основой модели Хойла (см. главу 9) является газовое облако очень низкой плотности, которое в результате последовательных сжатий образует скопление галактик, затем собственно галактики и т.д. Однако описание Хойла страдает чрезвычайной схематичностью, поэтому реальное геометрическое воплощение его модели требует некоторых специальных допущений. На рисунках показаны проекции простейшего такого воплощения на плоскость.

Рис. 311. В качестве инициатора выступает куб со стороной 1, который на первом этапе каскада разделяется на  подкубов со стороной ; далее процедура повторяется, и на  - м этапе мы получаем уже  подкубов  - го порядка, длина стороны каждого из которых равна , и при этом содержащееся в любом из подкубов  - го порядка вещество, сжимаясь, образует набор из 5 подкубов  - го порядка, который мы будем называть  - предтворогом. Створаживание по Хойлу всегда понижает размерность  с 3 до 1.

На этом рисунке вы можете видеть первые три этапа каскада, совмещенные друг с другом, причем более темный оттенок серого символизирует бóльшую плотность газа. В сравнении с рисунком, приведенным в [230] (с. 286), наша картинка может показаться приближенной. Это не так: рисунок выполнен с очень тщательным соблюдением масштаба, поскольку вопросы, связанные с размерностью, требуют точности.

Ввиду того, что мы представляем здесь плоскую проекцию трехмерного творога, нередко случается так, что два куба проецируются в один квадрат. Однако в пределе совпадения проекций двух точек практически исключены. Образующаяся пыль настолько разрежена, что пространство, в сущности, остается прозрачным.

Рис. 310. Здесь показан только четвертый этап каскада (с другой затравкой). Лежащая в основе построения решетка практически не прослеживается, и это хорошо, поскольку в природе мы никаких решеток не наблюдаем (см. главу 27). Верхний участок вихря, обрезанный краем страницы, в настоящем примере пуст.

Регулирование лакунарности. Понятие лакунарности, представленное в главе 34, непосредственно применимо к створаживанию на прямой и к створаживанию по Хойлу. Если у Хойла заменить  «реальным» значением Фурнье  (см. рис. 141), то лакунарность случайного творога становится очень и очень малой.

Створаживание в модели турбулентного рассеяния новикова – стюарта

Пространственное случайное створаживание можно наблюдать и в одной очень ранней модели перемежаемости турбулентности. Новиков и Стюарт [451] предполагают, что пространственное распределение рассеяния генерируется каскадным процессом: в начале каждого этапа берется предтворог предыдущего этапа и створаживается дальше, давая в результате  меньших в  раз частей. См. рис. 312 – 315.

Эта модель очень приблизительна, она даже грубее модели, предложенной в [21] для описания определенных избыточных шумов (см. главы 8 и 31). Она почти не привлекла к себе сколько-нибудь благосклонного внимания, ее никто не исследовал и не разрабатывал. Однако такое пренебрежительное отношение лишено всяких оснований. Мои исследования показывают, что в створаживании, согласно этой модели, уже присутствовали многие черты, характерные для более совершенных и более сложных современных моделей.

Рис. 312 – 315. Случайный творог Новикова – Стюарта на плоской решетке (размерности от  до ) и перколяция

Каскад Новикова – Стюарта дает полезное общее представление о том, каким образом турбулентное рассеяние в жидкости приходит в итоге к относительно малому объему. Концептуально он очень похож на каскад Хойла, проиллюстрированный на предыдущих рисунках; Однако между фрактальными размерностями  получаемых в пределе этих каскадов множеств имеется значительное различие. Размерность распределения галактик близка к единице, тогда как в турбулентности , причем хорошим приближением считается значение в интервале от 2,5 до 2,6. Для более общего понимания процесса створаживания на рисунках представлены примеры с различными размерностями. Во всех примерах , а  принимает следующие значения:

    и    .

Размерности же, соответственно, равны:

.

Сыворотка изображается серым цветом, а творог черным или белым. Белая область представляет собой перколяционный контактный кластер, т.е. вы можете, двигаясь только по белому, пройти от нижнего края рисунка до верхнего. Черным цветом представлены все остальные контактные кластеры.

Так как размерность турбулентности больше 2, твороги эти, в сущности, непрозрачны, а на рисунках показаны (в отличие от творогов Хойла) их плоские сечения со следующими размерностями:

.

Правый нижний угол рис. 312 отведен под пример с размерностью , не представляющий большого интереса, остальная часть рисунка иллюстрирует случай .

Порождающая программа и затравка одинаковы для всех примеров, и мы можем проследить постепенное исчезновение серых пятен по мере увеличения размерности. Для начала возьмем 25 субвихрей любого вихря и наложим их случайным образом друг на друга. Серыми окажутся  верхних субвихрей, где .

В двух примерах с наименьшими размерностями перколяции не происходит. При  на рисунке остается несколько черных пятен и появляется много белых. Некоторые затравки перколируют уже при . Однако на иллюстрациях показан слишком ранний этап каскада, чтобы можно было делать достоверные оценки порога .

Сыр.  Образ, стоящий за термином створаживание (равно как и за термином сыворотка, обозначающим дополнение творожного множества), не следует, разумеется, воспринимать буквально, однако известно, что образование реального сыра может быть вызвано биохимической нестабильностью – точно так же, как створаживание Новикова – Стюарта происходит, согласно предположению, вследствие нестабильности гидродинамической. Как бы то ни было, неопровержимых данных в пользу того, что какой-нибудь съедобный сыр может оказаться, ко всему прочему, еще и фрактальным, у меня нет.

Следствия «промежуточности» случайного творога

Известно, что в трехмерном пространстве стандартные фигуры с размерностью  (точки, линии и поверхности) имеют нулевой объем. Это верно и для случайного творога.

Площадь предтворогов также ведет себя довольно просто. При  она стремится к бесконечности, а при  - к нулю. При  створаживание практически не изменяет величину площади.

Аналогичным образом, по мере того, как , суммарная длина краев предтворогов стремится к бесконечности при  и к нулю при .

Эти свойства можно считать еще одним подтверждением того, что творог с фрактальной размерностью, заключенной в интервале , представляет собой нечто среднее между обычной поверхностью и объемной фигурой.

Доказательства. Самым простым оказывается доказательство для случая ограниченного створаживания. Объем  - го предтворога равен , и величина эта стремится к нулю по мере уменьшения внутреннего масштаба . Что касается площади, то случай  устанавливается по верхнему пределу. Площадь предтворога                - го порядка не может превышать суммы площадей соответствующих вихрей, так как упомянутая сумма включает в себя те стороны субвихрей, которые, являясь общими для соседних творогов, нейтрализуют одна другую. Поскольку площадь каждого вихря  - го порядка составляет , их общая площадь не может превышать . При  верхний предел стремится к нулю по мере того, как , что доказывает наше утверждение. В случае  мы можем получить нижний предел, отметив, что объединение вихрей  - го порядка, содержащихся в предтвороге  - го порядка, включает в себя, по крайней мере, один квадрат с длиной стороны  и площадью , каковой квадрат достается нам в наследство от предтворога  - го порядка и никак не может быть меньше, чем , а эта величина стремится к бесконечности вместе с . Наконец, при  оба предела оказываются конечными и положительными.

Размерность  фрактальных сечений: правило сложения коразмерностей

Наша следующая тема уже неоднократно упоминалась ранее. И вот теперь мы созрели для того, чтобы рассмотреть ее в полном и явном виде на примере одного особого случая.

Для начала припомним следующее стандартное свойство евклидовой геометрии плоскости: если размерность  некоторой фигуры удовлетворяет условию , то сечение этой фигуры прямой (если оно не пусто) «обычно» имеет размерность . Например,  непустое линейное сечение квадрата   представляет собой отрезок с размерностью . А линейное сечение прямой  - это точка (размерность ), за исключением случая, когда обе прямые совпадают.

Стандартные геометрические правила, определяющие поведение размерности при пересечении, можно свести к следующему, более общему виду: если сумма коразмерностей  меньше , то эта сумма является коразмерностью типичного пересечения; в противном случае пересечение, как правило, оказывается пустым. (Я приглашаю читателя самостоятельно проверить справедливость данного утверждения для различных пространственных конфигураций плоскостей и прямых.)

Упомянутое правило, к счастью, распространяется и на фрактальные размерности. Благодаря этому обстоятельству многие относящиеся к фракталам рассуждения становятся гораздо более простыми, чем можно было опасаться. Не следует, однако, забывать и о многочисленных исключениях из правила. Так, в частности, в главе 14 мы наблюдали, что при пересечении неслучайного фрактала  особым образом расположенной прямой или плоскостью далеко не всегда можно вывести размерность получающегося сечения из размерности фрактала . Случайные фракталы в этом смысле заметно проще.

Размерность  сечений случайных творогов

Для доказательства применимости этого фундаментального правила к фрактальному творогу рассмотрим следы (квадраты и интервалы), оставляемые вихрями и субвихрями каскада створаживания на поверхности либо на краю исходного вихря со стороной . На каждом этапе каскада каждый участок предтворога замещается некоторым количеством меньших участков, причем количество это определяется процессом рождения и гибели. Обозначим количество «отпрысков»  - го поколения, расположенных вдоль края исходного вихря, через . Классические выводы, уже использованные ранее в этой главе, показывают, что величина  не оставляет нам богатого выбора. Если  (т.е. ), то можно быть почти уверенным, что семейство, в конце концов, вымирает, иными словами край вихря становится пустым, а размерность его, как следствие, равной нулю. Если же  (т.е. ), то генеалогическая линия каждого края имеет, напротив, ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. Размерность подобия в этом случае равна  согласно следующему почти всегда верному соотношению:

.

К двумерным следам вихрей применимы те же рассуждения, только нужно заменить величину  на некоторую случайную величину  - такую, что . Если  (т.е. ), то поверхность каждого вихря становится, в конце концов, пустой. Если же  (т.е. ), то размерность подобия равна  согласно следующему почти верному соотношению:

.

При ограниченном створаживании результаты остаются такими же.

Тождественность поведения фрактальной и евклидовой размерности при пересечении подтверждается и следующим наблюдением: при пересечении нескольких створоженных фракталов, носителем которых является одна и та же решетка, а размерности равны, соответственно, , выполняется равенство .

Топология творога: кластеры

Рискуя показаться занудным, все же позволю себе повториться: фундаментальные неравенства -  для галактик (глава 9) и  для турбулентности (глава 10) – являются не топологическими, но фрактальными.

При неслучайном створаживании в  (см. главы 13 и 14) топология предельного множества однозначно определяется выбранным в начале процесса генератором. Любой ковер Серпинского  представляет собой связной творог, а любая губка  или пена  - пространственный связной творог. Остальные твороги – это либо  - кластеры, либо пыли. Таким образом, при  и  (т.е. в тех случаях, которые интересуют исследователей турбулентности) неслучайный каскад может привести либо к  (пыль), либо к  (кривые или  - кривые), либо к  (поверхности или  - поверхности).  Когда же , а  (этими случаями, как правило, занимается астрономия), топологическая размерность  может быть равна либо 0, либо 1.

Случайное же створаживание использует статистически смешанный генератор; о топологии предельного множества в этом случае можно говорить лишь «почти наверное» (см. конец главы 21). Сама неточность такого створаживания делает его настолько простым, что существенным становится тщательно исследовать имеющиеся в нем на этот счет предсказания. Наше теперешнее знание складывается из доказанных фактов и выведенных из косвенных свидетельств умозаключений.

Критические размерности. Топологическая размерность  творога дискретно изменяется, когда значение  пересекает определенные критические пороги, которые мы будем обозначать как . Иными словами, почти невозможно встретить смешанный творог, т.е. такой, который состоял бы из отдельных частей с различной размерностью .

Порог  - самый важный. Он, кроме того, является верхним пределом для тех значений ,  при которых данный творог почти наверняка представляет собой пыль, а также нижним пределом для тех значений ,  при которых данный творог почти наверняка распадается на бесконечное количество непересекающихся участков, каждый из которых представляет собой связное множество. По причинам, изложенным в главе 13, эти участки называются контактными кластерами.

Следующий порог, , отделяет значения , при которых творог представляет собой  - кривую, от тех, при которых он становится  - поверхностью, и т.д. Если (или когда) мы всерьез займемся исследованием топологии сыворотки, она, вполне возможно, одарит нас новыми критическими порогами.

Размерность кластеров. Когда , фрактальная размерность контактных кластеров . По мере уменьшения значения  от  до  размерность кластеров  сначала уменьшается от  до некоторого , а затем резко падает до нуля.

Распределение размеров кластеров. Распределение ,  и т.д. можно получить путем простой замены  на  с соответствующих формулах главы 13.

Пределы для  и . Очевидно, что  и . В следующем разделе  доказывается, что для порога  существует верхний предел, меньший , из чего можно заключить, что вышеприведенные определения и в самом деле имеют вполне конкретный смысл.

Кроме того, существуют и более связанные нижние пределы, не зависящие от . Чуть позже я покажу, что достаточным условием для  является . Следовательно, . Достаточным же условием для равенства  либо 0, либо 1, является . Следовательно, .

При  находим , что вполне согласуется (даже с запасом) как со значением Фурнье – Хойла , так и с эмпирическим значением для галактики, . Таким образом, случайный творог с любым из этих значений  представляет собой пыль – чего мы, собственно, от него и добивались.

Условие  дает при  размерность . Это пороговое значение (как ни странно) также хорошо вписывается в нашу картину и вполне соответствует оценке размерности носителя турбулентной перемежаемости. Опыт подсказывает, что достаточные условия, полученные с помощью приближенных методов, редко бывают оптимальными. Следовательно, можно предположить, что, согласно модели створаживания, носитель турбулентности должен представлять собой нечто меньшее, чем участок поверхности.

Отыскание нижних пределов. Существование нижних пределов обусловлено тем фактом (см. главу 13), что контактные кластеры в твороге возникают там, где сливается содержимое соседних ячеек. Рассмотрим в этой связи пересечение творога с плоскостью, перпендикулярной некоторой оси с координатой вида , где  и  - целые числа. Известно, что при  существует положительная вероятность того, что это пересечение непусто. Однако для слияния необходимо перекрытие между частичными вкладами в пересечение соседних ячеек с общей стороной, длина которой равна . Если эти вклады непусты, то они статистически независимы друг от друга; следовательно, размерность их перекрытия формально определяется выражением .

Если  (т.е. если ), то вклады не перекрываются. Следовательно, данный творог никак не может содержать в себе непрерывную кривую, пересекающую нашу плоскость, и .

Если  (т.е. если ), то перекрытие вкладов (при условии, что оно существует) не может содержать кривую. Следовательно, творог не может содержать в себе непрерывную поверхность, пересекающую плоскость, и .

При , где  (т.е. при ), аналогичное рассуждение исключает возможность существования какой бы то ни было гиперповерхности с размерностью .

С учетом этих результатов не составляет большого труда завершить доказательство приведенных в предыдущем подразделе неравенств: если творог содержит в себе кривую (или поверхность), то любая точка  на этой кривой (поверхности) содержится  внутри блока со стороной вида , который кривая (поверхность) пересекает в некоторой точке (или кривой).  Можно утверждать, что таких точек (или кривых) почти наверняка не существует при  (или при ).

Перколяционные фрактальные кластеры

Обсуждение топологии лучше всего продолжать в рамках перколяционной терминологии. В соответствии с определением, приведенным в главе 13, мы говорим, что некая фигура внутри квадрата или куба перколирует, если она содержит в себе связную кривую, соединяющие противоположные стороны этого квадрата или куба. Под термином «перколяция» обычно понимают бернуллиеву перколяцию, которую мы рассматривали в главах 13 и 14. Однако аналогичная задача возникает и в контексте случайных фракталов. Ниже мы попытаемся решить эту задачу на примере случайного творога.

Опираться мы будем на фундаментальный факт, заключающийся в том, что если упомянутая фигура представляет собой  - кластер, то она перколирует в том и только в том случае, если перколирует один из принадлежащих ей контактных кластеров. Когда контактные кластеры фрактальны и их длины подчиняются безмасштабному гиперболическому распределению, вероятность перколяции не зависит от длины стороны квадрата и не вырождается в 0 или 1. В бернуллиевой перколяции упомянутое в предыдущем предложении «когда» сводится к весьма жесткому условию: . Перколяция сквозь фрактальный творог довольствуется условием более мягким, а именно: . Разница очень значительна. И все же понимание бернуллиевой перколяции помогает понять перколяцию творога, и наоборот.

Верхний предел для . Я утверждаю, что при  пороговое значение  удовлетворяет неравенству . Точнее, при фиксированном  (ограниченное створаживание) выполнение этого условия почти гарантирует перколяцию.  При неограниченном створаживании оно означает, что существует некая положительная, но малая вероятность того, что перколяция не произойдет.

Прежде всего рассмотрим случай неслучайного . При сильном условии   любая заданная поверхность, заключенная между двумя ячейками предтворога, всегда выживает. Даже в самой опасной ситуации, когда вокруг упомянутой поверхности скапливаются все не выживающие субвихри, их количества совершенно недостаточно для разрыва существующей тропы (причем не почти наверное,  а абсолютно точно). Более слабое условие  дает тот же результат, но уже на абсолютно, а лишь почти наверное.  Получающийся творог состоит из листов поверхности, окружающих отдельные лакуны, заполненные сывороткой. Две точки сыворотки, расположенные в разных лакунах, нельзя соединить никаким образом. Топология такого творога почти наверняка тождественна топологии ковра Серпинского или фрактальной пены (см. главу 14).

Если применить то же условие к неограниченному створаживанию, то отсутствие перколяции из разряда совершенно невозможных событий перейдет в просто маловероятные.

Рассмотрим некоторые численные примеры на плоскости . При  более слабое (и более полезное) из вышеприведенных условий дает неравенство , которое имеет единственное решение:  (равное значению  для ковра Серпинского). По мере того как  верхний предел для  подходит все ближе к 2.

Нижний предел для . При  справедливо неравенство , где  - критическая вероятность в бернуллиевой перколяции. Существование этого предела обусловлено тем, что первый этап случайного фрактального створаживания сводится к построению бернуллиевой решетки, каждая ячейка которой является проводящей с вероятностью . Если эта вероятность меньше , то электропроводность решетки – событие маловероятное. А если такая решетка все-таки проводит ток, то происходит это, скорее всего, благодаря одной-единственной цепочке проводящих ячеек. На втором этапе случайного фрактального створаживания мы строим бернуллиеву решетку с вероятностью  уже в каждой проводящей ячейке решетки первого этапа. И это наверняка разорвет существующую перколяционную цепочку.

При  новый предел стремится к  и, в своей области применения , превосходит предел . Таким образом, .