33 КРУГОВЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ: ЛУННЫЕ КРАТЕРЫ И ГАЛАКТИКИ

Представив линейную пыль Леви в качестве трема – фрактала с помощью случайных трем в форме интервалов (глава 31), мы тут же (глава 32) свернули с намеченного пути в сторону и произвели обобщение этой пыли на плоскость и пространство с помощью процесса субординации. В настоящей же главе (и в следующей за ней) предпринимается попытка непосредственного обобщения случайных трем.

Плоские и пространственные тремы в этой главе представлены кругами и шарами, поэтому наше обобщение оказывается напрямую связано с формами лунных кратеров и метеоритов. Однако наиболее важное применение пространственных трем относится к несколько иной области и не так очевидно. При значении , близком к 1, трема – фрактал представляет собой пыль и, следовательно, является потенциальным кандидатом на замещение совокупности промежуточных остановок полета Леви при моделировании скоплений галактик. Новизна по сравнению с основанными на случайных блужданиях моделями заключается, главным образом, в том, что галактики в такой модели не упорядоченны вдоль некоего следа. Отсюда получаем выигрыш в априорном правдоподобии и, как следствие, проигрываем в удобстве вычислений, однако, в конечном счете, новая модель все же побеждает благодаря лучшему соответствию реальности: предсказанные с ее помощью ковариантные свойства оказываются заметно ближе к результатам наблюдений. Несферические тремы (глава 35) улучшают соответствие еще больше.

Плоские и пространственные тремы

Прежде чем мы приступим к рассмотрению случайных и перекрывающих трем, опишем плоское створаживание на решетке (главы 13 и 14), используя понятие виртуальной тремы. Первый этап каскада заключается в выделении из квадратных ячеек для последующего сохранения их в качестве творогов. Иначе можно сказать, что на первом этапе вырезаются квадратных трем. На следующем этапе вырезаются квадратные тремы второго порядка в количестве , включая истинно новых трем и «виртуальных» трем (которые и здесь удаляют то, что уже было удалено на предыдущем этапе). И так далее.

Пересчитав истинные и виртуальные тремы, мы обнаружим, что количество трем с площадью, превышающей некоторую величину , пропорционально . Аналогичный вывод можно сделать и по отношению к створаживанию в 3 – пространстве: количество трем, объемы которых превышают некоторую величину , пропорционально .

Бóльшая часть этой главы (и главы 35) посвящена рассмотрению случая, когда количество независимых трем, сосредоточенные в ячейке со сторонами и (или и ), представляет собой пуассоновскую случайную величину с ожиданием

Соответствующее ожидание в пространстве равно

Фрактальные свойства получаемого в результате трема – множества столь же просты, как и в линейном случае, рассмотренном в главе 31. При эти свойства можно вывести из свойств линейного множества; в предшествующих же эссе было высказано предположение, что упомянутые свойства остаются в силе при всех . Это предположение получило подтверждение в работе [132].

При трема – множество почти наверное окажется пустым. При оно представляет собой фрактал с размерностью .

Что касается топологии трема – фракталов, то, руководствуясь общими принципами, можно предположить, что трема – множество с размерностью есть пыль . С другой стороны, при одних общих принципов недостаточно, и топология определяется формой тремы. Здесь снова возникает задача о перколяции, причем в ином, нежели раньше, фрактальном контексте.

Лунные кратеры и круговые тремы

Начнем с одного второстепенного вопроса, который обеспечит нас упрощенной двумерной подготовкой и сам по себе довольно занимателен: какова геометрическая природа множества, не занятого лунными кратерами? Хотя греки называли словом чашу или иной сосуд для питья, большая часть кратеров на поверхности Земли имеет вулканическое происхождение. Большинство людей, однако, полагает, что кратеры, наблюдаемые на поверхности Луны, Марса, юпитерианского спутника Каллисто, а также других планет и их спутников образовались, преимущественно, в результате падений метеоритов.

Чем больше метеорит, тем шире и глубже оказывается образующийся при его ударе о поверхность планеты кратер. Кроме того, большой кратер, явившийся следствием падения тяжелого метеорита, может «стереть с лица планеты» несколько уже существовавших малых кратеров; с другой стороны, падение легкого метеорита вполне может оставить «зазубрину» на краю старого большого кратера. Что касается размеров кратеров, существуют достоверные эмпирические данные в пользу того, что площади кратеров (измеренные сразу же после удара метеорита о поверхность) следует гиперболическому распределению: количество кратеров, площади которых превышают км2 , а центры расположены в пределах квадрата со стороной в 1 км2 , можно записать в виде , где - некоторая константа. За подробностями отсылаю к работам [411], [8] и [200] .

Для упрощения рассуждений (главный результат от этого не изменится) аппроксимируем лунную поверхность плоскостью, а лунные кратеры – тремами в форме кругов. Если бы Луна вечно захватывала метеориты из статистически инвариантного окружения, то каждая точка ее поверхности снова и снова оказывалась бы принадлежащей какому – либо кратеру, и так до бесконечности. С другой стороны, те или иные геологические процессы – такие, скажем, как выход на поверхность вулканической лавы – могут время от времени «стирать» кратеры, и в этом случае трема – множество, не покрытое на какой-то момент времени кратерами, может оказаться весьма нетривиальным. Кроме того, эволюция солнечной системы могла происходить таким образом, что бомбардировка Луны метеоритами заняла лишь какой-то конечный период времени. Параметр может характеризовать либо время, прошедшее после последнего стирания кратеров, либо общую продолжительность бомбардировки.

Для оценки влияния параметра на форму трема – фрактала попробуем изменить этот параметр, сохраняя инвариантной затравку. По мере увеличения от 0 до 2 поверхность Луны становится все более насыщенной кратерами, а размерность свободной от кратеров поверхности, согласно одному из выводов предыдущего раздела, уменьшается и достигает нуля при . Зависимость формы трема – фрактала от проиллюстрирована на рис. 424 – 427.

Аппенцеллер и Эмменталер. При очень малых значениях параметра наши фракталы представляются мне (думаю, многие любители швейцарских сыров со мной в этом согласятся) похожими на ломтики сыра, почти целиком испещренные очень маленькими, «булавочными» отверстиями. Можно назвать такую форму приблизительной экстраполяцией структуры аппенцелльского сыра. По мере увеличения мы постепенно переходим к столь же приблизительной экстраполяции структуры другого сыра, эмментальского, для которого характерны большие, перекрывающие друг дружку отверстия.

(Вот так выясняется, что английский детский стишок о Луне, сделанной из зеленого сыра, является истинным отражением реальности – за исключением, пожалуй, цвета.)

Топология. Критические значения . Обе упомянутые выше экстраполяции могут быть лишь приблизительными, поскольку площадь трема – фрактальных «ломтей сыра» приближается к нулю. Выскажу предположение: пока параметр достаточно мал, трема – фрактал представляет собой - кластер, каждый из контактных кластеров которого имеет вид переплетения связанных между собой нитей с топологической размерностью . Когда размерность достигает определенного критического значения , размерность падает до нуля и - паутина коллапсирует в пыль.

Следующее критическое значение . При поверхность Луны перенасыщена кратерами – любая из ее точек почти наверное принадлежит, по меньшей мере, одному кратеру. Так, в частности, обстояло бы дело, если бы поверхность Луны никогда не очищалась от кратеров и продолжала бы бесконечно принимать на себя удары метеоритов.

Немасштабируемые кратеры. Плотность кратеров, покрывающих поверхности некоторых других планет (наша Луна в их число не входит), характеризуется выражением вида , где . С задачей, которую ставят перед нами такие кратеры, мы разберемся в приложении к настоящей главе.

Рис. 424 и 425. Малые круговые тремы (белые) и случайные «швейцарские сыры» (размерности и )

Тремы на этих иллюстрациях представлены в виде белых кругов. Их центры распределены на плоскости случайным образом. Площадь круга ранга равна ; выбор числовой постоянной осуществляется, исходя из соображений соответствия трема – модели, описанной в тексте главы. На рис. 424 мы видим нечто похожее на сыр аппенцеллер в разрезанном виде (размерность черной области ), поверхность же, изображенная на рис. 425, напоминает об эмментальском сыре (размерность черной области ).

Рис. 426 и 427. Большие круглые тремы (черные) и случайные разветвленные белые нити (размерности и )

Построение этих фигур сходно с построением фигур, изображенных на рис. 424 и 425, только здесь тремы черные, а их площадь больше (настолько больше, что свободного места почти нет). Под подразумевается размерность белой фрактальной области, оставшейся невырезанной.

Галактики и межгалактические пустоты, построенные с помощью сферических трем

Хотя круговые тремы с некоторых пор обрели независимое и общепризнанное существование в виде лунных кратеров, шарообразным тремам с масштабно-инвариантным распределением приходилось поначалу довольствоваться ролью естественного приложения этого же геометрического приема к пространственному случаю. Я предположил, что шарообразные тремы смогут явиться основой для построения галактической модели, альтернативной той, что описана в главе 32. Тем самым я постулировал существование межгалактических пустот, объединяющих в себе большое количество трем и способных достигать очень больших размеров. Хорошее соответствие реальности, продемонстрированное получившейся моделью, оказалось весьма приятным сюрпризом и потребовало дальнейших теоретических (см. главу 35) и экспериментальных изысканий.

Ковариантности. Так как статистики и физики имею обыкновение доверять корреляциям и спектрам, первое испытание трема – фракталов в роли моделей скоплений галактик опирается на их корреляционные свойства. Ковариантность между двумя точками в пространстве оказывается такой же, как и в модели, основанной на случайных блужданиях, - в этом нет ничего удивительного, так как последняя модель хорошо согласуется с данными наблюдений. То же верно (как, собственно, и должно быть) и для ковариантности между двумя направлениями в небесах. Предсказываемые данной моделью ковариантности между тремя и четырьмя направлениями соответствуют реальности лучше, чем те, что дает модель случайных блужданий, однако улучшения носят чисто технический характер, и их рассмотрение едва ли отвечает нашим целям и задачам. В сущности, при определенном значении различные модели дают одинаковые корреляции.

А теперь вспомним о том, что гауссовы феномены, включая броуновские и дробные броуновские фракталы, полностью характеризуются своими ковариантностями. Если же упомянутые феномены масштабно - инвариантны, то они полностью характеризуются размерностью . Учитывая влияние гауссовых феноменов на мыслительные процессы, происходящие в головах статистиков, возникает сильное искушение остановиться на ковариантностях. Однако фрактальная пыль не является гауссовым феноменом, а ее размерность оказывается неспособной описать многие важные ее свойства.

Критические размерности. Необходимо разобраться еще с одним вопросом, более фундаментальным, чем корреляция: обладают ли трема – фракталы соответствующей топологией? Для этого лучше всего воспользоваться уже испытанным в предыдущем разделе способом: Будем увеличивать значение параметра от 0 до 3, сохраняя затравку неизменной. Пока значение мало, , а наш фрактал представляет собой совокупность разветвленных вуалей. Когда значение пересекает определенную границу , называемую верхней критической размерностью, вуали распадаются на нити с топологической размерностью . Когда же значение пересекает некоторую меньшую границу (нижняя критическая размерность), нити расползаются в пыль . Поскольку для моделирования скоплений галактик необходима именно пыль, важно удостовериться, что размерность превышает известную из наблюдений величину . Результаты проведенного мною компьютерного моделирования подтверждают соблюдение этого неравенства.

Перколяция. Надежда на то, что наш мир не более сложен, чем это необходимо, побуждает меня поверить, что условие является необходимым и достаточным условием для перколяции на трема – фрактале (в смысле, описанном в главе 13).

Метеориты

Распределение масс падающих на Землю метеоритов исследовано достаточно тщательно (например, в [206]). Метеориты средних размеров состоят из камня, и 1 км3 пространства содержит приблизительно метеоритов, объемы которых превосходят км3 .

Обычно это утверждение выражают несколько иначе, пользуясь при этом довольно путаными единицами измерения: каждый год каждый квадратный километр поверхности Земли принимает на себя удар (в среднем) метеоритов, масса каждого из которых превышает граммов. Поскольку средняя плотность метеоритов в более согласованных единицах, сводится к метеоритов, объемы которых превосходят км3. Кроме того, земля движется по орбите со скоростью, составляющей приблизительно 1 км за лет – величина, обратная порядку длины траектории движения Земли вокруг Солнца, выраженному в километрах. Таким образом, пользуясь согласованными единицами измерения и округляя значения величин до их порядков (т.е. записывая 10 вместо 5,4), мы приходим к следующему выводу: за то время, пока Земля проходит в пространстве путь длиной в 1 км, на каждый квадратный километр ее поверхности приходится по метеоритов, объемы которых превосходят км3. Полагая, что метеориты, сталкивающиеся с Землей по мере ее продвижения в пространстве, представляют собой репрезентативную выборку распределения метеоритов в этом самом пространстве, получим заявленный ранее результат.

Этот закон формально идентичен закону для лунных кратеров, однако имеется и различие: кратеры могут перекрывать друг друга, тогда как метеориты такой способностью не обладают.

Тем не менее, забавно понаблюдать, что получится, если приравнять объем в соотношении к нулю и предположить, что метеориты – страшно подумать! – способны перекрывать друг друга. Если добавить сюда же невинное допущение о сферической форме метеоритов, то интересующее нас трема – множество можно будет изучать непосредственно (не прибегая к результатам, полученным в работе [132]). Сечения заполненного метеоритами пространства прямыми, случайным образом проведенными в этом пространстве, представляет собой линейные тремы, и можно показать, что количество таких интервалов, центры которых находятся внутри километрового промежутка, а длины превышают км, равно . ( - численный коэффициент порядка 1, которым в данном контексте можно пренебречь.) Следовательно, согласно одному из выводов главы 32, размерность линейного сечения трема – множества составляет . Возвращаясь от линейных сечений к исходной фигуре, прибавим к этому соотношению 2 и получим .

Этот результат – бессмыслица, так как он подразумевает, в частности, что метеориты почти заполняют пространство, несмотря даже на то, что им позволено перекрывать друг друга. Тем не менее, коразмерность заслуживает еще одного взгляда. Допустим в первом приближении, что значение отношения удерживается на уровне некоторого положительного порога и что не существует метеоритов меньшего размера. Согласно вкратце набросанному нами рассуждению, верно следующее: если и в самом деле возможно перейти к пределу , то множество, свободное от метеоритов, сойдется при этом к трема – множеству с размерностью . К счастью, схождение к этому предельному множеству происходит чрезвычайно медленно, - настолько медленно, что на наблюдаемом интервале способность метеоритов к перекрытию не составляет никакой проблемы. Но – к сожалению – значение в этом случае лишено какой бы то ни было практической значимости.

Приложение: немасштабируемые кратеры

С учетом поставленной задачи распределение кратеров на поверхности Луны лучше всего описать в виде , где . Такое же значение показателя верно, по всей видимости, и для Марса, однако спутники Юпитера характеризуются иными значениями (см. [531]). Ну а для метеоритов малого объема . Соответствующие трема – множества не являются масштабно-инвариантными.

Случай . В первом немасштабируемом случае на любую заданную точку поверхности планеты, независимо от значения , почти наверное приходится бесконечное количество кратеров. В текстуре поверхности наблюдается подавляющее преобладание малых кратеров. Подобная текстура характерна для поверхности Юпитера Каллисто, а показатель в этом случае действительно больше единицы. Неравенство рассматривалось и в предыдущих эссе, увидевших свет еще до полета «Вояджера», хотя тогда мы могли обсуждать его лишь в качестве теоретической возможности.

Случай . Ограничение на площадь кратеров. Обозначим наибольшую площадь через 1; тогда вероятность того, что некая точка не попадет ни в один из существующих кратеров, положительна, поскольку сходится интеграл , но уменьшается при увеличении . Получаемая при этом щербатая поверхность даже больше похожа на срез головы швейцарского сыра, чем рассмотренные ранее масштабно-инвариантные множества. Чем больше значение , тем меньше количество малых отверстий, и тем более «цельным» становится получаемый сыр. Однако, независимо от , площадь поверхности остается положительной, т.е. поверхность представляет собой множество (несамоподобное) с размерностью 2. С другой стороны, я не сомневаюсь в том, что его топологическая размерность равна 1, а это означает, что перед нами фрактал.

В пространственном (метеоритном) случае размерности этого трема – фрактала составляют, соответственно, и .