XI РАЗНОЕ

36 ФРАКТАЛЬНАЯ ЛОГИКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕШЕТОЧНОЙ ФИЗИКЕ

С фрактальной точки зрения, большинство задач физики не имеет сколько-нибудь принципиальных отличий от тех задач, что ставят перед собой другие научные дисциплины. Именно поэтому в настоящем эссе повсюду встречаются всевозможные «прецеденты» из физики, и лишь немногие мы приберегли для отдельного рассмотрения в этой главе.

Возможно, однако, что кто-то начнет читать книгу именно с этой главы, так как только в ее названии имеется слово «физика». Такому читателю я порекомендовал бы заглянуть в указатель, но сначала обратил бы его внимание на перечисленные ниже пространные рассмотрения физических прецедентов, никак не фигурирующие в названиях соответствующих глав.

В главах 13 и 14 обсуждается феномен перколяции.

Аполлониево «мыло» в главе 18 есть не что иное, как смектическая фаза жидкого кристалла.

Понятие текстуры (главы 34 и 35) наверняка в самом ближайшем будущем найдет многочисленные новые области применения в физике.

Наконец, позвольте мне привести некоторые небезынтересные, на мой взгляд, факты. Термин «дифракталы» впервые появился в одноименной работе Берри [24] – так были названы волны, либо отраженные от фрактальной поверхности, либо преломленные пластиной, состоящей из прозрачного материала с фрактально турбулентным показателем преломления. Дифракталы представляет собой новый волновой режим, с помощью которого можно исследовать все более тонкие структурные уровни, и к которому неприменима геометрическая оптика. Некоторые из свойств дифракталов Берри вычислил в явном виде.

В другой своей работе [23] Берри рассчитал распределение мод фрактальных барабанов – резонаторов с фрактальными границами.

О двух видах сходимости

Перейдем непосредственно к цели настоящей главы. До сих пор при рассмотрении различных прецедентов от физики мы пренебрегали одним очень важным обстоятельством (либо заметали его при удобном случае под ковер): во многих областях физики один из основных этапов построения математического фрактала принципиально неосуществим.

Для начала вспомним еще раз о том, что львиная доля настоящего эссе посвящена фракталам, в построении которых участвует рекурсивная интерполяция – либо по определению, либо хотя бы через апостериорное явное построение. Каждый этап построения начинается с геометрически стандартной фигуры – например, ломаной линии, или «терагона» - и заканчивается некоторой ее интерполяцией. Фрактал является пределом таких терагонов в том смысле, что расстояние между терагоном и предельной кривой (определяемое соответствующим обобщением стандартного понятия расстояния между точками) стремится к нулю. Такой предел математики называют «сильным».

Прочие пределы, возникающие в статистическом контексте, называются «слабыми» (или «слабо определенными»). В обычном представлении различие между этими двумя видами пределов очень тонкó.  Тема слабой сходимости, однако, проигрывает все те случаи (как давно известные, так и новые), когда случайные фракталы соприкасаются с «решеточной физикой», что является обычной практикой современной статистической физики.

В разговоре мы будем опираться на некоторые совсем свежие примеры фракталов в физике, а также коснемся одной весьма подходящей к нашему случаю и очень важной проблемы из области решеточной гидрологии.

Фрактальный предел случайного блуждания

Для начала отметим роль слабой сходимости в контексте броуновского движения. Как мельком упоминалось в главе 25, случайное блуждание на решетке (состоящей, например, из точек, координаты которых являются исключительно целыми числами) можно «учащать» до тех пор, пока шаг решетки не станет пренебрежимо малым, а его влияние на наблюдаемый результат – ничтожным.

Общеизвестно, что данная процедура «порождает» броуновское движение, однако термин «порождать» приобретает здесь новый смысл. Последовательность терагонов, которую мы использовали в главе 6 для построения кривой Коха, можно сравнить с картиной, детализация которой постепенно увеличивается посредством все более точной фокусировки. Что же касается последовательности учащенных случайных блужданий, то она ведет себя совсем иначе: на одном этапе случайное блуждание приближается к одному броуновскому движению, на следующем этапе оно подходит ближе, но уже к другому броуновскому движению, потом еще ближе – к третьему и так далее… не в состоянии осесть на каком-то одном месте. Это обстоятельство дает математикам полное право называть процесс сходимости случайного блуждания слабым или слабо определенным. С тем же правом конечно-учащенное случайное блуждание мы можем рассматривать как фрактальную кривую, внутренний порог которой равен шагу решетки. Однако это не тот порог, который знаком нам по предыдущим главам. Тот внутренний порог накладывался a posteriori на определенные геометрические построения, которые в теории не предполагают наличия какого бы то ни было порога и которые можно интерполировать до бесконечно малых масштабов, получая при этом фракталы. Случайное же блуждание интерполировать никоим образом нельзя.

Фракталы в «решеточной физике»

Предыдущие рассуждения касаются далеко не только броуновского движения. В самом деле, у статистической физики имеются весьма серьезные причины заменять многие из стоящих перед ней реальных задач их аналогами, ограниченными некоторой решеткой. Можно даже, пожалуй, сказать, что почти вся статистическая физика образует некую часть более общей «решеточной физики».

Как я указывал в своих предыдущих эссе (и это было подтверждено многими исследователями), в решеточной физике в изобилии встречаются фракталы и почти фракталы. Первые представляют собой  фигуры в пространстве параметров – таковы, например, упоминаемые в пояснении к рис. 125 чертовы лестницы. Вторые – это встречающиеся в реальном мире фигуры, которые не являются фракталами, так как их никоим образом нельзя интерполировать  до бесконечно малых масштабов, однако они похожи на фракталы в той степени, в какой фрактальны их свойства в средних и больших масштабах. С замечательным примером такой фигуры мы встречались в главах 13 и 14 при рассмотрении бернуллиевой перколяции.

Нет нужды говорить, что я целиком и полностью убежден в том, что учащенные версии упомянутых фигур слабо сходятся к фрактальным пределам. На этом моем убеждении, собственно, и основаны рассуждения в главах 13 и 14. Физики также считают это допущение как нельзя более убедительным, несмотря даже на то, что его полное математическое доказательство, насколько мне известно, имеется только для случая броуновского движения. Исходя из вышесказанного, я склоняюсь к тому, чтобы рассматривать эти нефрактальные фигуры с предполагаемыми фрактальными пределами как решеточные фракталы. Чуть позже мы поговорим и о других важных примерах решеточных фракталов.  

Можно сделать еще одно – связанное с предыдущим, но отличное от него – предположение, которое заключается в том, что реальные задачи, для которых решеточная физика предоставляет удобное упрощение, связаны с теми же (или почти с теми же) фракталами. Это предположение получило поддержку в работе [535] в отношении полимеров (которыми мы также вскоре займемся).

Локальное взаимодействие / глобальный порядок

Решеточной физике мы обязаны одним интереснейшим открытием, которое заслуживает того, чтобы о нем узнал весь мир. Заключается оно в том, что при определенных условиях чисто локальные взаимодействия имеют глобальные последствия. Приведу простой пример: результатом взаимодействий между соседними элементарными спинами является магнит, в удивительных свойствах которого всякий может убедиться сам.

Здесь, полагаю, мы вправе помечтать о том, что когда-нибудь феномены, для представления которых я использовал дробные броуновские фракталы, получат аналогичное объяснение.

Вымышленный пример

Позвольте мне описать некий пример, который фундаментальнейшим образом не согласуется с физическим механизмом упорядочения, однако обладает некоторыми несомненными достоинствами: он прост, и,  кроме того, в нем (в качестве примера доказуемого слабого предела) фигурирует наша старая фрактальная приятельница, салфетка Серпинского (см. главу 14). В точках с целочисленными координатами разместим спины таким образом, чтобы в четные (нечетные) моменты времени они занимали четные (нечетные) места. Знак каждого спина определяется в соответствии со следующим правилом: спин  в момент времени  и в позиции  отрицателен, если спины  и  одинаковы, и положителен в противном случае.

Прямая, состоящая из равномерно расположенных отрицательных спинов, остается после проведения описанной процедуры инвариантной. Проследим эффекты, возникающие при включении в нее положительной «примеси» в точке с координатой  в момент времени . Все спины  отрицательны, кроме спинов, расположенных в точках  и . Последующие конфигурации выглядят таким вот образом:

Многие читатели, несомненно, узнают в этом построении треугольник Паскаля, в котором места расположения нечетных биномиальных коэффициентов отмечены знаками . В полном треугольнике Паскаля  - я строка дает значения коэффициентов в разложении бинома .

Всякий, кто прочел главу 14, сразу увидит, что если соединить каждый плюс с соседними плюсами, то получится граф, родство которого с салфеткой Серпинского просто бросается в глаза (см. [499]). Более того, при уменьшении шага решетки этот граф сходится именно к салфетке Серпинского.

Случайное блуждание без самопересечений и  геометрия линейных полимеров

Обратимся теперь к одной очень важной конкретной задаче. При случайном блуждании без самопересечений (СББС) точка движется вперед, не обращая никакого внимания на свои предыдущие положения; исключением является лишь запрет проходить через одно место более одного раза и забредать туда, откуда невозможно найти выход. Все допустимые направления равновероятны.

На прямой такое движение не представляет никаких проблем: оно неизбежно распространяется в обоих направлениях и никогда не пересекает само себя.

Что касается плоского и пространственного случаев, то здесь возникает интересная и весьма сложная проблема – настолько сложная, что до сих пор ни одна аналитическая попытка найти ее решение не увенчалась успехом. Однако практическая значимость этой проблемы при изучении макромолекул (полимеров) настолько велика, что она стала объектом тщательных эвристических исследований и детального компьютерного моделирования. Ниже приводится наиболее интересный для нас результат, полученный Ч. Домбом и описанный в [15].

После  этапов построения среднеквадратическое смещение  имеет порядок, равный величине , возведенной в степень, которую мы обозначим через .

Исходя из этого утверждения, можно с большой долей уверенности заключить, что внутри окружности или сферы радиуса  с центром в некоторой точке случайного блуждания содержится приблизительно  других точек этого случайного блуждания.  Хороший повод удостовериться, является ли величина  фрактальной размерностью.

В случае прямой  (тривиально) равно единице. Согласно теоретическим рассуждениям Флори и результатам компьютерного моделирования для  и ,  (подробнее об этом можно прочесть в замечательном обзоре [99] (раздел 1.3), правда, вместо  там используется обозначение ). Фрактальная размерность  броуновского движения превышает это значение в случаях  и , однако совпадает с ним при .

Согласно предельному доказательству Кестена,  только при условии, что  . Однако предположение о том, что  при любом , подкрепляется изящной физической аргументацией, а также одним простым фрактальным доводом, который звучит следующим образом: при  коразмерность броуновского движения равна двум, следовательно, коразмерность множества его двойных точек равна нулю, - а это означает, что броуновское движение не имеет двойных точек. Таким образом, без особых хлопот мы приходим к искомому выводу: Броуновское движение нигде не пересекает само себя.

Значения , как оказалось, весьма чувствительны к исходным допущениям. Виндвер обнаружил, что если полимер в 3 – пространстве состоит из двух различных типов атомов (т.е., блуждание не ограничено решеткой), то  , а это, по его мнению, существенно меньше значения, полученного Домбом (). В случае полимера, растворенного в каком-либо реакционно-способном растворителе, пространство вложения оказывается еще менее инертным; величина , в частности, становится в этом случае зависимой от протекающей реакции. Точка  определяется как точка, в которой  принимает свое броуновское движение . В хороших растворителях , причем чем выше качество растворителя, тем меньше ; совершенный растворитель, в частности, дает  при  и при . Даже с самым плохим растворителем величина  в 2 – пространстве никогда не достигает значения , однако в 3 – пространстве плохой растворитель с легкостью обеспечивает . В действие вступают коагуляция и фазовое разнесение, и неразветвленная цепь больше не может считаться удовлетворительной моделью.

Предыдущие абзацы были написаны исключительно с целью выражения известных результатов в рамках фрактальной терминологии – мне думается, такое выражение поможет читателю яснее представить себе их значение. Тем не менее, следует еще раз подчеркнуть: называя величину  размерностью, мы тем самым допускаем, что многократно учащенные СББС слабо сходятся к некоему семейству фракталов, размерность которых совпадает с эмпирически наблюдаемым значением  . Физики на этот счет не испытывают никаких сомнений, однако привередливые математики настаивают на том, что на данный момент такое утверждение является не более чем предположением. В следующем разделе мы вкратце обрисуем направление, в котором может пойти доказательство упомянутого предположения.

Заметьте, мы вовсе не ожидаем, что фрактальный предел при учащении решетки окажется лишен пересечений, так как точки, в которых СББС «погружается» в свое отдаленное прошлое, становятся двойными точками. В самом деле, размерность множества двойных точек в этом случае положительна, . Мы, однако, можем ожидать, что тройных точек не будет, поскольку размерность их множества равна .

Последовательности, сильно сходящиеся к фракталам, несравненно легко поддаются изучению (как аналитически, так и с точки зрения вычислений), нежели СББС на четырех решетках. Следовательно, удобно было бы – если можно так выразиться – «оттенить» СББС некоторой последовательностью, благословенной обыкновенно (т.е. сильно) сходящимися приближениями. Этой цели можно достичь, используя предложенные мною «сквиг – кривые» (см. главу 24). Поразительно, но размерность наименее изощренных и наиболее изотропных сквиг - кривых оказывается чрезвычайно близка к значению , характерному для плоских СББС. Еще одна «тень» - броуновское движение без самопересечений, определяемое на рис. 341 как граница оболочки ограниченного броуновского следа. Вспомним, что размерность этой границы также составляет  . Едва ли это просто совпадение – скорее, намек на возможность углубить наши знания о структуре плоскости.

В этом месте было бы интересно отступить немного в сторону и посмотреть, соответствует ли случайное блуждание без самопересечений космологическому принципу (см. главу 22). На первых этапах построения не наблюдается этого соответствия. Скорее всего, преобладающим окажется установившееся условно космографическое состояние (однако мне не известно, пытался ли кто-нибудь доказать это).

Ренорм – групповой подход

Аналитическое изучение масштабной инвариантности в решеточных физических системах (опирающееся на традиции, отличные от тех, каким следую я) полагается зачастую на один весьма могущественный инструмент, который называется (ошибочно, кстати) «методом ренорм – групп (РГ)». В качестве дополнительного источника рекомендую весьма доступный обзор от самого автора метода, К. Уилсона, [604]. Когда один из предыдущих вариантов настоящего Эссе находился еще в стадии предпечатной подготовки – причем в то же время готовилась к печати одна из ранних статей по РГ, - у меня состоялся разговор с Х. Г. Каленом, который привлек мое внимание к очевидному концептуальному сродству между ними.

Чтобы рассмотреть это сродство более подробно, я предлагаю читателю поразмыслить над некоторыми цитатами из Уилсона ([603], c. 774):  «Ключевой особенностью статистического континуального предела является отсутствие характеристических масштабов длины, энергии или времени»;  «[Метод РГ - это] инструмент, который мы используем для изучения статистического континуального предела … [Дополнительная гипотеза об универсальности] также имеет аналог в случае обыкновенной производной. Как правило, существует много конечно – разностных аппроксимаций для производной»;  «Мы все еще очень далеки от понимания простой и в то же время явно структурированной природы производной»;  «Расходящийся интеграл есть типичный … симптом задачи, не имеющей характеристического масштаба»;  «[Ранняя] теория ренорм – групп … не рассматривает расходимостей в квантовой электродинамике ….  Хуже всего [в ней] то, что … это чисто математический метод для вычитания расходящихся частей интегралов»;  «Главной физической основой ренорм – группового подхода … является существование каскадного эффекта ….  [Первой] основной особенностью каскадной картины является ее масштабная инвариантность»;  «[Вторая основная особенность - это] усиление либо ослабление».

Теперь кое-какие комментарии. В цитате (а) утверждается, что и РГ, и фракталы предназначены для решения практических задач одного класса, а в цитате (г) – что в процессе решения они сталкиваются, прежде всего, с одной и той же проблемой. Цитата (б) становится гораздо более точной, если применить ее к теории фракталов. Высказанное в цитате (в) сожаление во фрактальном контексте лишено оснований: в настоящее время в нашем распоряжении имеется простая и в то же время структурированная замена производной, первым элементом которой является фрактальная размерность. Цитата (г), несомненно, принесла читателю нашего эссе радость узнавания: главу 5 мы начали с доказательства расходимости интеграла, который, в теории, должен был бы дать нам длину береговой линии. В других ситуациях мы смиряемся и с бесконечной дисперсией, и с бесконечным математическим ожиданием, и с бесконечной вероятностью (например, когда имеем дело с распределением  при , хотя и знаем, что ). Цитата (д) наполняет нас ощущением покоя и безопасности: уж мы-то всегда сможем избежать расходимостей, не прибегая для этого к чисто математическим методам. Цитата (е) также выглядит вполне знакомой.

В итоге не остается никаких сомнений в том, что и РГ, и фракталы ведут свое происхождение из одного источника и составляют, как выясняется, две стороны одной монеты, аналитическую и геометрическую. Однако фрактального аналога для цитаты (ж) мы так и не нашли, следовательно, параллелизм нельзя считать полным.

Теория РГ дает нам такую замечательную вещь, как гамильтониан неподвижной точки, . Быть физиком – значит полагать, что из гамильтониана  физической системы, в принципе, выводится все, что вообще возможно узнать о структуре этой системы. Если это так, то должна существовать возможность использовать гамильтонианы и для получения совместных распределений вероятностей различных случайных фигур. Из конечно – перенормированного гамильтониана   наверняка можно вывести распределения фигур, построенных на частой решетке, а из гамильтониана неподвижной точки  - распределения предельных фигур (и, в особенности, их размерности ). Здесь вырисовывается целая исследовательская программа, которую, возможно, будет сложно реализовать, но которая, я уверен, приведет к желаемым результатам.

Многоугольники без самопересечений

Выберем случайным образом какой-нибудь многоугольник из всех не пересекающих себя   - угольников, стороны которых состоят из ребер плоской  квадратной решетки. Он может оказаться близок по форме к квадрату, и тогда его площадь будет приблизительно равна . Возможно также, что он будет узким и вытянутым, и его площадь составит приблизительно . При усреднении (посредством назначения каждому многоугольнику одинакового веса) результаты численного моделирования дают для площади среднее значение, приблизительно равное , где  (см. [215]). Следовательно, с точки зрения теории фракталов, многоугольник ведет себя как случайное блуждание без самопересечений, кусающее себя за хвост.

И снова модели берееговых линий

То, что многоугольники без самопересечений имеют размерность , похоже, дает им право выступать в качестве моделей береговых линий, иррегулярность которых превышает средний уровень. Мы, конечно же, можем возрадоваться этому открытию, однако оно никоим образом не разрешает вопроса о форме береговых линий, поставленного в главе 5.

Прежде всего, остается проблема островов. Концепция размерности должна одновременно учитывать и иррегулярность береговых линий, и их фрагментацию, и связь между иррегулярностью и фрагментацией. А у не пересекающих себя многоугольников прибрежных островов, к сожалению, не наблюдается.

Кроме того, я полагаю, что одного – единственного значения  для всех береговых линий Земли явно недостаточно.

И, наконец – последнее по порядку, но не по значимости, - если шаг решетки, на которой мы строим очень обширное случайное блуждание (или большой многоугольник) без самопересечений, уменьшается с единицы до какого-либо малого значения , то две точки, разделенные ранее промежутком единичной длины, сходятся в пределе к одной и той же точке. Таким образом, в предельном случайном блуждании (многоугольнике) на частой решетке появляются точки пусть не самопересечения, но самокасания. Мне совсем не нравится наличие таких точек в модели береговой линии. Помимо всего прочего, эта модель подразумевает возможность буквальной интерпретации латинского слова peninsula («полуостров» или, буквально, «почти – остров») как острова, который касается материка в одной – единственной точке, а также существования почти – озер.

Почему реки не могут течь прямо?

В главе 12 мы упоминали об эмпирическом открытии Хака, которое заключается в том, что длина типичной реки возрастает пропорционально площади ее бассейна, возведенной в степень . Если бы реки текли прямолинейно по своим круглым бассейнам, то длина потока была бы пропорциональна квадратному корню из площади бассейна, а  равнялось бы единице. В действительности же значение  варьируется от 1,2 до 1,3. В качестве примера в главе 12 приводится описание модели, в основе которой лежит заполняющая плоскость сеть рек, причем реки эти представляет собой фрактальные кривые.

Леопольд и Лангбейн предприняли попытку объяснения эффекта Хака, но избрали для этого совершенно иной, стохастический, путь: в своей работе [298] они сообщают о полученных ими результатах компьютерного моделирования развития конфигураций гидрографической сети в литологически однородных районах. В модели используется оригинальное двумерное случайное блуждание на квадратной решетке, которое наверняка заинтересует любого физика. Предполагается, что расположение истоков и направления распространения выбираются случайным образом. Истоком первого потока является выбранный наугад квадрат, далее СББС генерирует русло на каждый следующий соседний квадрат до тех пор, пока поток не переходит границу области. Затем наугад выбирается второй исток, и аналогичным образом генерируется второй поток, который обрывается либо уходом через границу области, либо слиянием с первым потоком. Часто оказывается так, что второй поток (назовем его «Миссури») проходит до точки слияния больший путь, нежели первый («Миссисипи»). Слияние может произойти и в самой точке истока первого потока. Описанная процедура совершается до тех пор, пока все квадраты не оказываются заполненными. В дополнение к этим общим правилам допускаются различные достаточно произвольные решения с целью избежать петель, касаний и прочих несообразностей.

Согласно результатам моделирования длина реки в этой основанной на случайном блуждании модели пропорциональна площади бассейна в степени 0,64. Следовательно, . Расхождение между этим значением и значением Домба  можно объяснить статистической вариацией, вызванной недостаточной полнотой моделирования. Однако я склонен считать, что это расхождение отражает истинное положение дел: совокупное воздействие со стороны других потоков в модели Леопольда – Лангбейна, по-видимому, более выражено, чем влияние предыдущих положений СББС на его настоящее, а значит, меньшей размерности  следовало ожидать.

По сравнению с реальными картами реки в модели Леопольда – Лангбейна блуждают в высшей степени беспорядочно. Для устранения этого недостатка было предложено множество альтернативных вариантов. В модели Ховарда [228] постулируется рост «против течения» (согласно разнообразным совершенно искусственным схемам) от устьев, расположенных на границе квадрата, к истокам, помещенным внутри. Эта процедура генерирует заметно более прямые реки, чем те, что мы наблюдали в модели Леопольда – Лангбейна, что, по всей видимости, подразумевает и меньшую размерность .

До сих пор исследования случайных сетей – таких, как речные системы в моделях Леопольда – Лангбейна и Ховарда – ограничиваются лишь несколькими компьютерными моделями. Это весьма прискорбно, и я, пользуясь случаем, хотел бы привлечь внимание математиков к этим интереснейшим задачам. Тот факт, что СББС, как было неоднократно доказано, чрезвычайно плохо поддается анализу, вероятно, отпугнет тех, кому больше по душе несложные, но высокооплачиваемые задачи; хотя вариант Леопольда – Лангбейна может оказаться не так суров.

Повторюсь: математические сложности, с которыми мы сталкивались при изучении СББС, происходят из того обстоятельства, что локальные изменения могут повлечь за собой глобальные последствия. Аналогичным образом в результате локального изменения в сети Леопольда – Лангбейна главная река может прорваться через границу квадрата и утечь в соседний бассейн. Хорошо было бы научиться хотя бы измерять интенсивность результирующего долгосрочного взаимодействия на макроскопическом уровне. Я, естественно, полагаю, что определяющий эту интенсивность параметр представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.