XI РАЗНОЕ36 ФРАКТАЛЬНАЯ ЛОГИКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕШЕТОЧНОЙ ФИЗИКЕС фрактальной точки зрения, большинство задач физики не имеет сколько-нибудь принципиальных отличий от тех задач, что ставят перед собой другие научные дисциплины. Именно поэтому в настоящем эссе повсюду встречаются всевозможные «прецеденты» из физики, и лишь немногие мы приберегли для отдельного рассмотрения в этой главе. Возможно, однако, что кто-то начнет читать книгу именно с этой главы, так как только в ее названии имеется слово «физика». Такому читателю я порекомендовал бы заглянуть в указатель, но сначала обратил бы его внимание на перечисленные ниже пространные рассмотрения физических прецедентов, никак не фигурирующие в названиях соответствующих глав. В главах 13 и 14 обсуждается феномен перколяции. Аполлониево «мыло» в главе 18 есть не что иное, как смектическая фаза жидкого кристалла. Понятие текстуры (главы 34 и 35) наверняка в самом ближайшем будущем найдет многочисленные новые области применения в физике. Наконец, позвольте мне привести некоторые небезынтересные, на мой взгляд, факты. Термин «дифракталы» впервые появился в одноименной работе Берри [24] – так были названы волны, либо отраженные от фрактальной поверхности, либо преломленные пластиной, состоящей из прозрачного материала с фрактально турбулентным показателем преломления. Дифракталы представляет собой новый волновой режим, с помощью которого можно исследовать все более тонкие структурные уровни, и к которому неприменима геометрическая оптика. Некоторые из свойств дифракталов Берри вычислил в явном виде. В другой своей работе [23] Берри рассчитал распределение мод фрактальных барабанов – резонаторов с фрактальными границами. О двух видах сходимости Перейдем непосредственно к цели настоящей главы. До сих пор при рассмотрении различных прецедентов от физики мы пренебрегали одним очень важным обстоятельством (либо заметали его при удобном случае под ковер): во многих областях физики один из основных этапов построения математического фрактала принципиально неосуществим. Для начала вспомним еще раз о том, что львиная доля настоящего эссе посвящена фракталам, в построении которых участвует рекурсивная интерполяция – либо по определению, либо хотя бы через апостериорное явное построение. Каждый этап построения начинается с геометрически стандартной фигуры – например, ломаной линии, или «терагона» - и заканчивается некоторой ее интерполяцией. Фрактал является пределом таких терагонов в том смысле, что расстояние между терагоном и предельной кривой (определяемое соответствующим обобщением стандартного понятия расстояния между точками) стремится к нулю. Такой предел математики называют «сильным». Прочие пределы, возникающие в статистическом контексте, называются «слабыми» (или «слабо определенными»). В обычном представлении различие между этими двумя видами пределов очень тонкó. Тема слабой сходимости, однако, проигрывает все те случаи (как давно известные, так и новые), когда случайные фракталы соприкасаются с «решеточной физикой», что является обычной практикой современной статистической физики. В разговоре мы будем опираться на некоторые совсем свежие примеры фракталов в физике, а также коснемся одной весьма подходящей к нашему случаю и очень важной проблемы из области решеточной гидрологии. Фрактальный предел случайного блуждания Для начала отметим роль слабой сходимости в контексте броуновского движения. Как мельком упоминалось в главе 25, случайное блуждание на решетке (состоящей, например, из точек, координаты которых являются исключительно целыми числами) можно «учащать» до тех пор, пока шаг решетки не станет пренебрежимо малым, а его влияние на наблюдаемый результат – ничтожным. Общеизвестно, что данная процедура «порождает» броуновское движение, однако термин «порождать» приобретает здесь новый смысл. Последовательность терагонов, которую мы использовали в главе 6 для построения кривой Коха, можно сравнить с картиной, детализация которой постепенно увеличивается посредством все более точной фокусировки. Что же касается последовательности учащенных случайных блужданий, то она ведет себя совсем иначе: на одном этапе случайное блуждание приближается к одному броуновскому движению, на следующем этапе оно подходит ближе, но уже к другому броуновскому движению, потом еще ближе – к третьему и так далее… не в состоянии осесть на каком-то одном месте. Это обстоятельство дает математикам полное право называть процесс сходимости случайного блуждания слабым или слабо определенным. С тем же правом конечно-учащенное случайное блуждание мы можем рассматривать как фрактальную кривую, внутренний порог которой равен шагу решетки. Однако это не тот порог, который знаком нам по предыдущим главам. Тот внутренний порог накладывался a posteriori на определенные геометрические построения, которые в теории не предполагают наличия какого бы то ни было порога и которые можно интерполировать до бесконечно малых масштабов, получая при этом фракталы. Случайное же блуждание интерполировать никоим образом нельзя. Фракталы в «решеточной физике» Предыдущие рассуждения касаются далеко не только броуновского движения. В самом деле, у статистической физики имеются весьма серьезные причины заменять многие из стоящих перед ней реальных задач их аналогами, ограниченными некоторой решеткой. Можно даже, пожалуй, сказать, что почти вся статистическая физика образует некую часть более общей «решеточной физики». Как я указывал в своих предыдущих эссе (и это было подтверждено многими исследователями), в решеточной физике в изобилии встречаются фракталы и почти фракталы. Первые представляют собой фигуры в пространстве параметров – таковы, например, упоминаемые в пояснении к рис. 125 чертовы лестницы. Вторые – это встречающиеся в реальном мире фигуры, которые не являются фракталами, так как их никоим образом нельзя интерполировать до бесконечно малых масштабов, однако они похожи на фракталы в той степени, в какой фрактальны их свойства в средних и больших масштабах. С замечательным примером такой фигуры мы встречались в главах 13 и 14 при рассмотрении бернуллиевой перколяции. Нет нужды говорить, что я целиком и полностью убежден в том, что учащенные версии упомянутых фигур слабо сходятся к фрактальным пределам. На этом моем убеждении, собственно, и основаны рассуждения в главах 13 и 14. Физики также считают это допущение как нельзя более убедительным, несмотря даже на то, что его полное математическое доказательство, насколько мне известно, имеется только для случая броуновского движения. Исходя из вышесказанного, я склоняюсь к тому, чтобы рассматривать эти нефрактальные фигуры с предполагаемыми фрактальными пределами как решеточные фракталы. Чуть позже мы поговорим и о других важных примерах решеточных фракталов. Можно сделать еще одно – связанное с предыдущим, но отличное от него – предположение, которое заключается в том, что реальные задачи, для которых решеточная физика предоставляет удобное упрощение, связаны с теми же (или почти с теми же) фракталами. Это предположение получило поддержку в работе [535] в отношении полимеров (которыми мы также вскоре займемся). Локальное взаимодействие / глобальный порядок Решеточной физике мы обязаны одним интереснейшим открытием, которое заслуживает того, чтобы о нем узнал весь мир. Заключается оно в том, что при определенных условиях чисто локальные взаимодействия имеют глобальные последствия. Приведу простой пример: результатом взаимодействий между соседними элементарными спинами является магнит, в удивительных свойствах которого всякий может убедиться сам. Здесь, полагаю, мы вправе помечтать о том, что когда-нибудь феномены, для представления которых я использовал дробные броуновские фракталы, получат аналогичное объяснение. Вымышленный пример Позвольте мне описать некий пример, который фундаментальнейшим образом не согласуется с физическим механизмом упорядочения, однако обладает некоторыми несомненными достоинствами: он прост, и, кроме того, в нем (в качестве примера доказуемого слабого предела) фигурирует наша старая фрактальная приятельница, салфетка Серпинского (см. главу 14). В точках с целочисленными координатами разместим спины таким образом, чтобы в четные (нечетные) моменты времени они занимали четные (нечетные) места. Знак каждого спина определяется в соответствии со следующим правилом: спин Прямая, состоящая из равномерно расположенных отрицательных спинов, остается после проведения описанной процедуры инвариантной. Проследим эффекты, возникающие при включении в нее положительной «примеси» в точке с координатой Многие читатели, несомненно, узнают в этом построении треугольник Паскаля, в котором места расположения нечетных биномиальных коэффициентов отмечены знаками Всякий, кто прочел главу 14, сразу увидит, что если соединить каждый плюс с соседними плюсами, то получится граф, родство которого с салфеткой Серпинского просто бросается в глаза (см. [499]). Более того, при уменьшении шага решетки этот граф сходится именно к салфетке Серпинского. Случайное блуждание без самопересечений и геометрия линейных полимеров Обратимся теперь к одной очень важной конкретной задаче. При случайном блуждании без самопересечений (СББС) точка движется вперед, не обращая никакого внимания на свои предыдущие положения; исключением является лишь запрет проходить через одно место более одного раза и забредать туда, откуда невозможно найти выход. Все допустимые направления равновероятны. На прямой такое движение не представляет никаких проблем: оно неизбежно распространяется в обоих направлениях и никогда не пересекает само себя. Что касается плоского и пространственного случаев, то здесь возникает интересная и весьма сложная проблема – настолько сложная, что до сих пор ни одна аналитическая попытка найти ее решение не увенчалась успехом. Однако практическая значимость этой проблемы при изучении макромолекул (полимеров) настолько велика, что она стала объектом тщательных эвристических исследований и детального компьютерного моделирования. Ниже приводится наиболее интересный для нас результат, полученный Ч. Домбом и описанный в [15]. После Исходя из этого утверждения, можно с большой долей уверенности заключить, что внутри окружности или сферы радиуса В случае прямой Согласно предельному доказательству Кестена, Значения Предыдущие абзацы были написаны исключительно с целью выражения известных результатов в рамках фрактальной терминологии – мне думается, такое выражение поможет читателю яснее представить себе их значение. Тем не менее, следует еще раз подчеркнуть: называя величину Заметьте, мы вовсе не ожидаем, что фрактальный предел при учащении решетки окажется лишен пересечений, так как точки, в которых СББС «погружается» в свое отдаленное прошлое, становятся двойными точками. В самом деле, размерность множества двойных точек в этом случае положительна, Последовательности, сильно сходящиеся к фракталам, несравненно легко поддаются изучению (как аналитически, так и с точки зрения вычислений), нежели СББС на четырех решетках. Следовательно, удобно было бы – если можно так выразиться – «оттенить» СББС некоторой последовательностью, благословенной обыкновенно (т.е. сильно) сходящимися приближениями. Этой цели можно достичь, используя предложенные мною «сквиг – кривые» (см. главу 24). Поразительно, но размерность наименее изощренных и наиболее изотропных сквиг - кривых оказывается чрезвычайно близка к значению В этом месте было бы интересно отступить немного в сторону и посмотреть, соответствует ли случайное блуждание без самопересечений космологическому принципу (см. главу 22). На первых этапах построения не наблюдается этого соответствия. Скорее всего, преобладающим окажется установившееся условно космографическое состояние (однако мне не известно, пытался ли кто-нибудь доказать это). Ренорм – групповой подход Аналитическое изучение масштабной инвариантности в решеточных физических системах (опирающееся на традиции, отличные от тех, каким следую я) полагается зачастую на один весьма могущественный инструмент, который называется (ошибочно, кстати) «методом ренорм – групп (РГ)». В качестве дополнительного источника рекомендую весьма доступный обзор от самого автора метода, К. Уилсона, [604]. Когда один из предыдущих вариантов настоящего Эссе находился еще в стадии предпечатной подготовки – причем в то же время готовилась к печати одна из ранних статей по РГ, - у меня состоялся разговор с Х. Г. Каленом, который привлек мое внимание к очевидному концептуальному сродству между ними. Чтобы рассмотреть это сродство более подробно, я предлагаю читателю поразмыслить над некоторыми цитатами из Уилсона ([603], c. 774): Теперь кое-какие комментарии. В цитате (а) утверждается, что и РГ, и фракталы предназначены для решения практических задач одного класса, а в цитате (г) – что в процессе решения они сталкиваются, прежде всего, с одной и той же проблемой. Цитата (б) становится гораздо более точной, если применить ее к теории фракталов. Высказанное в цитате (в) сожаление во фрактальном контексте лишено оснований: в настоящее время в нашем распоряжении имеется простая и в то же время структурированная замена производной, первым элементом которой является фрактальная размерность. Цитата (г), несомненно, принесла читателю нашего эссе радость узнавания: главу 5 мы начали с доказательства расходимости интеграла, который, в теории, должен был бы дать нам длину береговой линии. В других ситуациях мы смиряемся и с бесконечной дисперсией, и с бесконечным математическим ожиданием, и с бесконечной вероятностью (например, когда имеем дело с распределением В итоге не остается никаких сомнений в том, что и РГ, и фракталы ведут свое происхождение из одного источника и составляют, как выясняется, две стороны одной монеты, аналитическую и геометрическую. Однако фрактального аналога для цитаты (ж) мы так и не нашли, следовательно, параллелизм нельзя считать полным. Теория РГ дает нам такую замечательную вещь, как гамильтониан неподвижной точки, Многоугольники без самопересечений Выберем случайным образом какой-нибудь многоугольник из всех не пересекающих себя И снова модели берееговых линий То, что многоугольники без самопересечений имеют размерность Прежде всего, остается проблема островов. Концепция размерности должна одновременно учитывать и иррегулярность береговых линий, и их фрагментацию, и связь между иррегулярностью и фрагментацией. А у не пересекающих себя многоугольников прибрежных островов, к сожалению, не наблюдается. Кроме того, я полагаю, что одного – единственного значения И, наконец – последнее по порядку, но не по значимости, - если шаг решетки, на которой мы строим очень обширное случайное блуждание (или большой многоугольник) без самопересечений, уменьшается с единицы до какого-либо малого значения Почему реки не могут течь прямо? В главе 12 мы упоминали об эмпирическом открытии Хака, которое заключается в том, что длина типичной реки возрастает пропорционально площади ее бассейна, возведенной в степень Леопольд и Лангбейн предприняли попытку объяснения эффекта Хака, но избрали для этого совершенно иной, стохастический, путь: в своей работе [298] они сообщают о полученных ими результатах компьютерного моделирования развития конфигураций гидрографической сети в литологически однородных районах. В модели используется оригинальное двумерное случайное блуждание на квадратной решетке, которое наверняка заинтересует любого физика. Предполагается, что расположение истоков и направления распространения выбираются случайным образом. Истоком первого потока является выбранный наугад квадрат, далее СББС генерирует русло на каждый следующий соседний квадрат до тех пор, пока поток не переходит границу области. Затем наугад выбирается второй исток, и аналогичным образом генерируется второй поток, который обрывается либо уходом через границу области, либо слиянием с первым потоком. Часто оказывается так, что второй поток (назовем его «Миссури») проходит до точки слияния больший путь, нежели первый («Миссисипи»). Слияние может произойти и в самой точке истока первого потока. Описанная процедура совершается до тех пор, пока все квадраты не оказываются заполненными. В дополнение к этим общим правилам допускаются различные достаточно произвольные решения с целью избежать петель, касаний и прочих несообразностей. Согласно результатам моделирования длина реки в этой основанной на случайном блуждании модели пропорциональна площади бассейна в степени 0,64. Следовательно, По сравнению с реальными картами реки в модели Леопольда – Лангбейна блуждают в высшей степени беспорядочно. Для устранения этого недостатка было предложено множество альтернативных вариантов. В модели Ховарда [228] постулируется рост «против течения» (согласно разнообразным совершенно искусственным схемам) от устьев, расположенных на границе квадрата, к истокам, помещенным внутри. Эта процедура генерирует заметно более прямые реки, чем те, что мы наблюдали в модели Леопольда – Лангбейна, что, по всей видимости, подразумевает и меньшую размерность До сих пор исследования случайных сетей – таких, как речные системы в моделях Леопольда – Лангбейна и Ховарда – ограничиваются лишь несколькими компьютерными моделями. Это весьма прискорбно, и я, пользуясь случаем, хотел бы привлечь внимание математиков к этим интереснейшим задачам. Тот факт, что СББС, как было неоднократно доказано, чрезвычайно плохо поддается анализу, вероятно, отпугнет тех, кому больше по душе несложные, но высокооплачиваемые задачи; хотя вариант Леопольда – Лангбейна может оказаться не так суров. Повторюсь: математические сложности, с которыми мы сталкивались при изучении СББС, происходят из того обстоятельства, что локальные изменения могут повлечь за собой глобальные последствия. Аналогичным образом в результате локального изменения в сети Леопольда – Лангбейна главная река может прорваться через границу квадрата и утечь в соседний бассейн. Хорошо было бы научиться хотя бы измерять интенсивность результирующего долгосрочного взаимодействия на макроскопическом уровне. Я, естественно, полагаю, что определяющий эту интенсивность параметр представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.
|