Нелакунарные фракталы

Согласно определениям лакунарности, приведенным в главе 34, нелакунарное множество в пространстве  должно пересекать каждый куб или сферу в указанном пространстве. Выражаясь математическим языком, оно должно быть всюду плотным и, как следствие, незамкнутым. (Единственное всюду плотное замкнутое множество в пространстве  - это само пространство !) В этом разделе мы покажем, что такие фракталы действительно существуют, но весьма отличаются «на ощупь» от замкнутых фракталов, рассматриваемых в других частях эссе. Ключевое различие заключается в том, что хотя к таким фракталам по-прежнему применимо понятие размерности Хаусдорфа – Безиковича, их размерность подобия и размерность Минковского – Булигана равны здесь , а не .

1. Относительная перемежаемость

Феномены, при описании которых не обойтись без нелакунарных фракталов, во множестве упоминаются на страницах настоящего эссе – я имею в виду, что многие из моих прецедентных исследований естественных фракталов вступают в противоречие с некоторыми из известных нам о Природе бесспорных истин.

В главе 8, например, мы забываем о том, что шум, служащий причиной появления фрактальных ошибок, в промежутках между ошибками ослабляется, но полностью не исчезает.

В главе 9 мы как-то пренебрегаем тем обстоятельством, что нам известно о существовании межзвездной материи. Вне всякого сомнения, ее распределение должно быть, по меньшей мере, таким же иррегулярным, как и распределение звезд. Более того, представление о невозможности определения плотности относится в большей степени именно к межзвездной, а не к звездной материи. В подтверждение приведу выдержку из статьи де Вокулера [104]: «Принимая во внимание то, что видимая материя образует ярко выраженные сгустки и кластеры во всех масштабах, трудно поверить в то, что невидимый межгалактический газ однороден и равномерно распределен … [его] распределение должно быть очень похоже … на распределение галактик». В работах других астрономов можно встретить такие термины, как межгалактические жгуты и межгалактическая паутина.

А рассмотренные в главе 10 бахромчатые поверхности турбулентной диссипации со всей очевидностью представляет собой чрезмерно упрощенное описание реальности.

В конце главы 9 очень кратко упоминается о фрактальном взгляде на распределение минералов. В этом случае факт применения замкнутых фракталов означает, что в областях, расположенных между медными месторождениями, медь полностью отсутствует. Разумеется, в большинстве областей меди действительно очень мало, однако было бы неверно предполагать, что в какой-либо области ее нет совсем.

Во всех перечисленных случаях определенные области, не представлявшие для нас в тот момент непосредственного интереса, были искусственным образом опустошены, чтобы получить возможность использовать при описании соответствующего феномена замкнутые фрактальные множества; однако, в конечном счете, эти области необходимо будет заполнить. Для решения такой задачи можно воспользоваться оригинальным гибридом, который называется нелакунарные фракталы.

Например, нелакунарное распределение масс в космическом пространстве – это такое распределение, при котором никакая область пространства не бывает пустой, но для каждого множества малых порогов  и  доля массы не менее  оказывается сосредоточена в области пространства, относительный объем которой не превышает .

2. Цитата из де виса и комментарий

В работе де Виса [106] описана весьма простая и наглядная ситуация, требующая применения нелакунарных фракталов; там же приводится некая «рабочая гипотеза», о которой, на мой взгляд, стоит рассказать подробнее.

«Рассмотрим [месторождение руды] тоннажа  и средней степени чистоты . Проведя воображаемый разрез, разделим месторождение на две части с одинаковым тоннажем , но с различной средней степенью чистоты. Допустим, что чистота руды в более богатой половине равна , тогда чистота руды во второй половине должна быть равна , поскольку, согласно условию, средняя чистота руды в обеих половинах составляет  … Проведем еще один воображаемый разрез, разделяющий месторождение уже на четыре части с одинаковым тоннажем  и средними степенями чистоты ,  ,   и . После третьего разреза получаем  частей, а именно: один блок со средней чистотой , три блока с , три блока с  и один с . Несложно представить себе и дальнейшее разделение месторождения на все меньшие блоки.

Коэффициент  в качестве меры изменчивости вполне адекватно заменяет целое собрание различных трудноопределимых характеристик [милых сердцу тех, кто полагает, что оценка качества месторождения представляет собой, скорее всего искусство, чем науку], а используя основанные на этой мере статистические выводы, мы вполне способны обойтись без имеющегося в нашем распоряжении запутанного лабиринта из эмпирических правил и интуитивных методов».

Комментарий. До исследования геометрических аспектов своей модели де Вис так и не дошел, и ни он, ни его в остальных отношениях выдающиеся последователи (включая и Г. Матерона) не имели ни малейшего представления о фракталах. Однако если предположить, что плотность руды не зависит от степени ее чистоты (т.е. вес руды эквивалентен ее объему), то мы увидим, что в точности такую же модель исследовал в свое время – правда, с совершенно иными целями – теоретик А. С. Безикович вместе со своими учениками.

Забегая вперед, заметим, что если продолжить процесс де Виса (в его новой интерпретации) до бесконечности, то руда в пределе створаживается в нелакунарный фрактал. Для того чтобы записать его размерность в привычном для нас виде ), необходимо прежде определить  следующим образом:

,

где  и .

Заключение. Догадку де Виса можно расценивать как вдохновенное прозрение, однако коэффициент явно непригоден в качестве меры, так как он применим только к одной модели. Подходящей мерой изменчивости руды является размерность .

3. Взвешенное створаживание безиковича

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале  с .

Допущения. Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу  с единичной плотностью, и поделим ее между третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса  и , удовлетворяющих следующим условиям:

А.      . Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес ограничен значением . Величину , которая представляет собой массу  - й трети, мы обозначим через .

Б.      Равномерное распределение  исключено.

В.      . Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай .

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значения:   .  

Заключения. Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (бóльшей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А.      Сингулярность. Фрактал Безиковича. Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В. Он представляет собой множество точек интервала , троичное разложение которых таково, что отношение

 (количество  в первых  «цифрах»)

сходится . Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б.      Нелакунарность. Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до  масса строго возрастает вместе с . Хотя относительное количество точек, в которых не сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала , имела ненулевой предел при .

В.      Размерность Хаусдорфа – Безиковича множества . Эта размерность равна

.

Формально величина  является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информации»», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г.       Размерность подобия множества . Эта размерность равна единице. В самом деле, множество  самоподобно с  и , следовательно, ; причина введения индекса  вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов  равна 3. В данном примере величина  не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов , если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество  его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на .

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной  один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале . Оно никак не связано со значениями весов  и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.

Д.     Размерность подобия «множества концентрации» множества . Эта размерность равна . Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа – Безиковича  . Точнее говоря, после некоторого большого количества  этапов каскада бóльшая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в  троичных интервалов с длиной . Распределение этих интервалов в  неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при  к нулю.

Комментарий. Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена бóльшая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия  и  различны. См. также подраздел 5 данного раздела.

4. Случайное взвешенное створаживание [378,  376]

В работах [378, 376] я предложил естественное и достаточно глубокое обобщение метода Безиковича, которое получило дальнейшее развитие в [254].

Воздействие каждого этапа каскада заключается в умножении плотностей в  субвихрях каждого вихря на одинаково распределенные и статистически независимые случайные веса .

После  этапов каскада взвешенного створаживания количество вихрей, в которых оказывается сосредоточена бóльшая часть массы, составляет величину порядка  (при общем количестве вихрей ), где

.

В частности, если величина  дискретна и ее возможные значения  имеют относительные вероятности , имеем

.

Случай . Мера, порождаемая взвешенным створаживанием аппроксимируемого фрактально однородной мерой с размерностью , получаемой так же, как описано в главе 23.

Случай . Количество непустых ячеек асимптотически стремится к нулю, а это значит, что предел почти наверное оказывается пустым.

В общей сложности, носитель массы аппроксимируется замкнутым множеством с размерностью .

Сечения. Аналогичным образом масса, заключенная в плоских и линейных сечениях, сосредотачивается в относительно малом количество вихрей:  для плоских сечений (при общем числе вихрей ) и  для линейных сечений (при общем числе вихрей ). То есть сечения невырождены при  (и, соответственно, ) и аппроксимируются фракталами с размерностями  и . Таким образом, размерности сечений в этом случае подчиняются тем же правилам, что и в случае лакунарных фракталов.

Новые случайные величины, инвариантные при взвешенном сложении. Пусть  - это случайная величина, которая асимптотически задает вес, заключенный внутри вихря любого порядка  или внутри его сечения прямой или плоскостью (размерность сечения обозначим через ). Я показал, что величины  удовлетворяют функциональным уравнениям

,

где , величины  и  - независимые случайные величины, равенство же выражает идентичность распределения. Это уравнение представляет собой обобщение уравнения , рассматриваемого в разделе устойчивые по леви случайные величины и функции. Решения этого уравнения являются обобщением устойчивых случайных величин и подробнее обсуждаются в цитированных выше статьях [378, 376] и [254].

5. Предельное логарифмически нормальное случайное створаживание и функция [367]

В [367] описана вихревая решетка, сочетающая в себе абсолютное и взвешенное створаживание, позаимствованное у Кантора. Вихри не задаются заранее, но генерируются при построении с помощью того же статистического механизма, который используется для генерации заключенной в них массы. Кроме того, дискретные вихревые слои сливаются в такой решетке в непрерывный континуум.

Предельная логарифмически нормальная функция: обоснование. Произведем кое-какие последовательные модификации взвешенного створаживания на примере некоторой функции  от одной переменной (выбранной из соображений простоты).

После  - го этапа плотность взвешенного створаживания задается функцией , такой, что приращение  есть ступенчатая функция; изменяется эта функция только тогда, когда представляет собой интеграл, кратный , в остальные же моменты времени ее значениями являются независимые случайные величины вида . Положим теперь, что приращение  является логарифмически нормальным со средним  и дисперсией . При этом ковариация между  и  принимает на интервале  значение  и обращается в нуль вне этого интервала. Функция  не может считаться гауссовой, поскольку совместное распределение ее значений при двух (или более)  не является многомерной гауссовой случайной величиной.

Первая модификация. Заменим все  соответствующими , определяемыми как гауссовы случайные функции с практически той же ковариацией . В результате такой замены сохраняется «область зависимости» оригинала, однако нарушаются дискретные границы между вихрями продолжительности .

Вторая модификация. Заменим дискретный параметр  непрерывным параметром . Сумма конечных разностей  заменяется при этом интегралом бесконечно малых дифференциалов  со средним  и дисперсией , а вихри становятся непрерывными.

Определение функции . Рассмотрим предел

.

Случайная величина является гауссовой со средним  и дисперсией . Отсюда  при всех . Однако предел функции  может быть либо невырожденным, либо почти наверное равным нулю. Математического разрешения  эта проблема пока не получила, однако можно, очевидно, придать строгий вид нижеследующим эвристическим рассуждениям. Они проводятся на примере более интересных функций  от трехмерной переменной.

Множество концентрации предельной логарифмически нормальной меры. Удобным средством для получения представления о множестве, в котором значение  не только не малó, но чрезвычайно велико, являются опорные квадраты со стороной . Это не искусственно навязанные субвихри, а всего лишь способ измерения. При  и фиксированном  вероятность того, что значение логарифмически нормальной функции  окажется очень близко к нулю, чрезвычайно высока, т.е. на бóльшей части области определения значения этой функции чрезвычайно малы.

Поскольку функция  непрерывна, изменение ее значения внутри ячейки со стороной  очень невелико, а это значит, что к настоящей модели применим способ получения множества концентрации в случае взвешенного створаживания с логарифмически нормальной величиной . Если пренебречь логарифмическими членами, то количество ячеек, составляющих бóльшую часть интеграла функции , имеет математическое ожидание , где .

Если  (т.е. ), то  при , и функция  почти наверное вырождена.

Если  (т.е. ), то функция   имеет размерность  и невырождена, однако ее следы на плоскостях и прямых почти наверное вырождены.

Если  (т.е. ), то функция  и ее следы на плоскостях невырождены (размерности  и  , соответственно), однако ее следы на прямых почти наверное вырождены.

Если  (т.е. ), то и функция , и ее следы на плоскостях и прямых невырождены (размерности ,  и , соответственно).

6. Размерность концентрата меры

Исследование относительной перемежаемости может привести нас и к другим определениям размерности. Вместо множества в метрическом пространстве рассмотрим некую меру , которая определена в ограниченном подпространстве  (в соответствующем  - поле, включающем в себя и шары) и обладает нижеперечисленными свойствами.  Когда  - шар, , а , т.е. «множество, в котором » совпадает с пространством .  Руководствуясь интуитивными соображениями, можно однако предположить, что мера  «концентрируется» внутри очень малой части пространства . Необходимы новые способы количественного выражения .

При заданных  и  рассмотрим множества , для которых верно неравенство . Обозначим через  инфимум количества шаров радиуса , необходимых для покрытия множества . Определим

.

За некоторыми, на мой взгляд, многообещающими эвристическими оценками скрываются выражения «размерностного» вида

;

;

,

строгое исследование которых можно было бы только приветствовать. Разумеется, эвристические оценки заменяют значение  действительным  относительно некоторого приемлемого покрытия .