3.8. Нечеткий вывод

3.8.1. Основные правила вывода в двоичной логике

В традиционной (двоичной) логике решения об истинности одних суждений выводятся на основании истинности других суждений. Подобный вывод задается в виде схемы: над горизонтальной чертой записываются все суждения, на основании которых принимается решение, а под чертой - полученный результат. Схема корректного вывода обладает тем свойством, что поскольку истинны все суждения над чертой, то истинно также и суждение под чертой, так как из истинных суждений может выводиться только истинный результат. В настоящем разделе заглавными буквами  и  будут записываться суждения, а не нечеткие множества. Пусть  и  - это суждения, причем запись  () означает, что логическим значением суждения  () считается «истина», тогда как запись  () означает, что логическим значением суждения  () считается «ложь». Представим теперь два правила вывода, применяемых в двоичной логике.

Определение 3.29

Правило вывода modus ponens (первая форма гипотетического силлогизма) определяется следующей схемой вывода:

Условие Импликация		(3.187)
Вывод

Пример 3.26

Пусть суждение  имеет вид «Ян является водителем», а суждение  - «У Яна есть водительское удостоверение». В соответствии с правилом modus ponens, если ,то и , поскольку если истинно, что «Ян является водителем», то также истинно, что «У Яна есть водительское удостоверение». Другими словами, из истинности предпосылки и импликации (суждения над чертой) следует истинность вывода (суждения под чертой).

Определение 3.30

Правило вывода modus tollens (вторая форма гипотетического силлогизма) определяется следующей схемой вывода:

Условие Импликация		(3.188)
Вывод

Пример 3.27

Продолжая пример 3.26, можно понять, что если «У Яна нет водительского удостоверения», т.е.  (), то «Ян не является водителем», т.е.  (). В этом примере тоже из истинности предпосылки и импликации следует истинность вывода.

Мы представили всего два правила вывода в двоичной логике, которые будут обобщаться на случай нечеткости. Конечно, в двоичной логике существует множество других правил вывода. Интересующиеся могут ознакомиться с обширной литературой, посвященной этой тематике (например, [27]).

3.8.2. Основные правила вывода в нечеткой логике

Расширим теперь основные правила вывода в двоичной логике на случай нечеткости. Допустим, что присутствующие в правилах modus ponens (3.187) и modus tollens (3.188) суждения характеризуются некоторыми нечеткими множествами. Таким способом мы получаем обобщенное правило вывода modus ponens и обобщенное правило вывода modus tollens. В последующем изложении зависимости типа «Если , то » будем записывать в символике классического языка программирования ALGOL в виде IF A THEN В. По этой причине в некоторых русскоязычных формулировках будут встречаться английские термины.

3.8.2.1. Обобщенное нечеткое правило modus ponens

Определение 3.31

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens определяется следующей схемой вывода:

Условие Импликация	это IF  это  THEN  это	(3.189)
Вывод	это

где  и  - нечеткие множества, в то время как  и  - так называемые лингвистические переменные.

Лингвистическими называются переменные, значения которых представляют собой слова или суждения на естественном языке. В качестве примеров можно привести выражения типа «малая скорость», «умеренная температура» или «молодой человек». Подобные выражения можно формализовать приписыванием им некоторых нечетких множеств. Следует подчеркнуть, что лингвистические переменные помимо словесных значений могут иметь и численные значения - также, как обычные математические переменные. Следующий пример иллюстрирует обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens и разъясняет понятие «лингвистическая переменная».

Пример 3.28

Рассмотрим следующую схему вывода:

Условие Импликация	Скорость автомобиля большая Если скорость автомобиля очень большая, то уровень шума высокий	(3.190)
Вывод	Уровень шума в автомобиле не очень высокий

В приведенной схеме условие, импликация и вывод - неточные утверждения. В качестве лингвистических переменных выделим:  - скорость автомобиля,  - уровень шума. Множество

{«малая», «средняя», «большая», «очень большая»}

- множество значений лингвистической переменной . Аналогично множество

{«малый», «средний», «не очень высокий», «высокий»}

- множество значений лингвистической переменной .

Каждому элементу множеств  и  можно приписать соответствующее нечеткое множество. В результате анализа схем вывода (3.189) и (3.190) получаем следующие нечеткие множества:

«очень большая скорость автомобиля»,

«большая скорость автомобиля»

и

«высокий уровень шума»,

«не очень высокий уровень шума».

Читатель может самостоятельно построить функции принадлежности для этих нечетких множеств, аналогичные представленным на рис. 3.7. Рассмотрим различия между четким (3.187) и нечетким (3.189) правилами. В обоих случаях импликация имеет один и тот же вид , где  и  - это суждения (правило 3.187) либо нечеткие множества (правило 3.189). Суждение  из импликации четкого правила также присутствует в предпосылке этого правила. В то же время условие нечеткого правила не связано с нечетким множеством , но содержит некоторое нечеткое множество , которое может в определенном смысле быть близким к , однако не обязательно . В примере 3.28 нечеткое множество «очень большая скорость автомобиля» не равно нечеткому множеству «большая скорость автомобиля». В результате выводы схем (3.187) и (3.189) отличаются друг от друга. Вывод нечеткого правила относится к некоторому нечеткому множеству , которое определяется комбинацией нечеткого множества  и нечеткой импликации , т.е.

.                 (3.191)

Нечеткая импликация  равнозначна некоторому нечеткому отношению  с функцией принадлежности . Поэтому функцию принадлежности нечеткого множества  можно представить с помощью формулы (3.176), которая записывается в виде

,                   (3.192)

причем . В частном случае, когда -норма имеет тип min, формула (3.192) принимает вид

.                       (3.193)

Читатель легко заметит, что если

 и ,                    (3.194)

то обобщенное нечеткое правило modus ponens (3.189) упрощается до рассмотренного в п. 3.8.1 правила modus ponens (3.187).

Теперь допустим, что применяется импликация  из схемы (3.189), а нечеткое множество  (условие) последовательно принимает значения:

;

«очень », причем ;

«почти », причем ;

«не », причем .

Нечеткое множество «очень » определяется при помощи операции концентрации (3.78), нечеткое множество «почти » - при помощи операции разбавления (3.79), а нечеткое множество «не » - при помощи операции дополнения (3.62). В таблице 3.3 приведены (см. [10]) фактические отношения, которые могут связывать нечеткие множества  и . Отношение 1 - это схема modus ponens (3.187), отношения 2b и 3b возникают в случае отсутствия сильной связи между  и , отношение 4a означает, что из предпосылки « это не » нельзя сделать вывод об .

Таблица 3.3. Интуитивные отношения между условиями и выводами обобщенного нечеткого правила modus ponens

Отношение	Условие  это	Вывод  это
1	это	это
2а	это «очень »	это «очень »
2b	это «очень »	это
3а	это «почти »	это «почти »
3b	это «почти »	это
4а	это «не »	не определено
4b	это «не »	это «не »

 

3.8.2.2. Обобщенное нечеткое правило modus tollens

Определение 3.32

Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus tollens определяется следующей схемой вывода:

Условие Импликация	это IF  это  THEN  это	(3.195)
Вывод	это

где  и  - это нечеткие множества, в то время как  и  - это лингвистические переменные.

Пример 3.29

Данный пример следует из примера (3.28), причем сохраняет силу описание, соответствующее схеме (3.190):

Условие Импликация	Уровень шума в автомобиле не очень высокий Если скорость автомобиля очень большая, то уровень шума высокий	(3.196)
Вывод	Скорость автомобиля большая

Нечеткое множество  в выводе схемы (3.195) определяется комбинацией отношений

,                 (3.197)

причем

.                  (3.198)

Если -норма имеет тип min, то формула (3.198) принимает вид

.                       (3.199)

Если

 или ,                (3.200)

то обобщенное нечеткое правило вывода modus tollens (3.195) упрощается до рассмотренного в п. 3.7.1 правила modus tollens (3.198). В таблице 3.4 показаны очевидные отношения между условиями и выводами обобщенного нечеткого правила вывода modus tollens.

3.8.3. Правила нечеткой импликации

В предыдущем пункте мы обсуждали обобщенные нечеткие схемы вывода modus ponens и modus tollens. Функции принадлежности (3.198) и (3.192) в выводах этих схем зависят от функции принадлежности  нечеткой импликации , которая равнозначна некоторому нечеткому отношению . Представим различные способы задания функции  на основе известных функций принадлежности  и .

Определение 3.33

Пусть  и  - это нечеткие множества,  и . Нечеткой импликацией  называется отношение , определенное на  и удовлетворяющее следующим правилам:

1. Правило типа minimum

.                    (3.201)

Это правило называется «правилом Мамдани».

2. Правило типа «произведение»

.               (3.202)

Это правило известно под названием «правило Ларсена».

Таблица 3.4. Интуитивные отношения между предпосылками и выводами обобщенного нечеткого правила modus tollens

Отношение	Условие  это	Вывод  это
1	это «не »	это «не »
2	это «очень »	это «очень »
3	это «почти »	это «почти »
4	это	не определено
5	это	это

3. Правило Лукашевича

.            (3.203)

4. Правило типа max-min

             (3.204)

Это правило известно под названием «правило Заде».

5. Бинарное правило

        (3.205)

6. Правило Гогуэна

.                (3.206)

7. Правило Шарпа

             (3.207)

8. Правило Гёделя

             (3.208)

9. Вероятностное правило

                      (3.209)

10. Правило ограниченной суммы

                  (3.210)

Набор этих десяти правил не исчерпывает все известные из литературы определения нечеткой импликации. Представим теперь два примера, иллюстрирующие действие некоторых правил, подпадающих под определение 3.32.

Пример 3.30

Применим правило Ларсена (3.202) для нахождения вывода по схеме (3.189), т.е. построим нечеткое множество , определенное выражением (3.191)

или, точнее, его функцию принадлежности, соответствующую формуле (3.193)

.

Будем строить функцию принадлежности нечеткого множества  для следующих случаев нечеткого множества :

а) ,                      (3.211)

б) «очень »,                  (3.212)

в) «почти »,               (3.213)

г) «не ».                (3.214)

Допустим, что

.                       (3.215)

Если , то применение правила (3.202) ведет к равенству

                  (3.216)

В случае, когда «очень », получаем

.                   (3.217)

Для «почти » имеем

.                 (3.218)

В случае, когда «не », получаем

.                     (3.219)

Проверим теперь, каким отношениям, определенным в таблице 3.3, соответствуют результаты нечеткого вывода, представленные функциями принадлежности (3.216) - (3.219). Оказывается, что выполняются отношения 1, 2b и 3b.

Пример 3.31

Повторим теперь пример 3.30, заменив правило Ларсена (3.202) на правило Шарпа (3.207). Из определения этого правила очевидным образом следуют четыре равенства:

1) Если , то

.                  (3.220)

2) Если «очень », то

.                  (3.221)

3) Если «почти », то

.     (3.222)

4) Если «не », то

.                (3.223)

В этом случае выполняются отношения 1, 2а, 3а и 4а, приведенные в табл. 3.3.

Замечание 3.4

Примеры 3.30 и 3.31 можно повторить с применением других правил нечеткой импликации. При этом окажется [10, 21, 30], что в каждом конкретном случае выполняется только небольшая часть отношений, перечисленных в табл. 3.3. Этот факт оказался стимулом для некоторых авторов (см., например, [23]) к поиску более «рафинированных» правил нечеткой импликации, чем правила (3.201) - (3.210).