3.8. Нечеткий вывод3.8.1. Основные правила вывода в двоичной логикеВ традиционной (двоичной) логике решения об истинности одних суждений выводятся на основании истинности других суждений. Подобный вывод задается в виде схемы: над горизонтальной чертой записываются все суждения, на основании которых принимается решение, а под чертой - полученный результат. Схема корректного вывода обладает тем свойством, что поскольку истинны все суждения над чертой, то истинно также и суждение под чертой, так как из истинных суждений может выводиться только истинный результат. В настоящем разделе заглавными буквами Определение 3.29 Правило вывода modus ponens (первая форма гипотетического силлогизма) определяется следующей схемой вывода:
Пример 3.26 Пусть суждение Определение 3.30 Правило вывода modus tollens (вторая форма гипотетического силлогизма) определяется следующей схемой вывода:
Пример 3.27 Продолжая пример 3.26, можно понять, что если «У Яна нет водительского удостоверения», т.е. Мы представили всего два правила вывода в двоичной логике, которые будут обобщаться на случай нечеткости. Конечно, в двоичной логике существует множество других правил вывода. Интересующиеся могут ознакомиться с обширной литературой, посвященной этой тематике (например, [27]). 3.8.2. Основные правила вывода в нечеткой логикеРасширим теперь основные правила вывода в двоичной логике на случай нечеткости. Допустим, что присутствующие в правилах modus ponens (3.187) и modus tollens (3.188) суждения характеризуются некоторыми нечеткими множествами. Таким способом мы получаем обобщенное правило вывода modus ponens и обобщенное правило вывода modus tollens. В последующем изложении зависимости типа «Если 3.8.2.1. Обобщенное нечеткое правило modus ponensОпределение 3.31 Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens определяется следующей схемой вывода:
где Лингвистическими называются переменные, значения которых представляют собой слова или суждения на естественном языке. В качестве примеров можно привести выражения типа «малая скорость», «умеренная температура» или «молодой человек». Подобные выражения можно формализовать приписыванием им некоторых нечетких множеств. Следует подчеркнуть, что лингвистические переменные помимо словесных значений могут иметь и численные значения - также, как обычные математические переменные. Следующий пример иллюстрирует обобщенное (нечеткое) правило вывода modus ponens и разъясняет понятие «лингвистическая переменная». Пример 3.28 Рассмотрим следующую схему вывода:
В приведенной схеме условие, импликация и вывод - неточные утверждения. В качестве лингвистических переменных выделим:
- множество значений лингвистической переменной
- множество значений лингвистической переменной Каждому элементу множеств
и
Читатель может самостоятельно построить функции принадлежности для этих нечетких множеств, аналогичные представленным на рис. 3.7. Рассмотрим различия между четким (3.187) и нечетким (3.189) правилами. В обоих случаях импликация имеет один и тот же вид
Нечеткая импликация
причем
Читатель легко заметит, что если
то обобщенное нечеткое правило modus ponens (3.189) упрощается до рассмотренного в п. 3.8.1 правила modus ponens (3.187). Теперь допустим, что применяется импликация
Нечеткое множество «очень Таблица 3.3. Интуитивные отношения между условиями и выводами обобщенного нечеткого правила modus ponens
3.8.2.2. Обобщенное нечеткое правило modus tollensОпределение 3.32 Обобщенное (нечеткое) правило вывода modus tollens определяется следующей схемой вывода:
где Пример 3.29 Данный пример следует из примера (3.28), причем сохраняет силу описание, соответствующее схеме (3.190):
Нечеткое множество
причем
Если
Если
то обобщенное нечеткое правило вывода modus tollens (3.195) упрощается до рассмотренного в п. 3.7.1 правила modus tollens (3.198). В таблице 3.4 показаны очевидные отношения между условиями и выводами обобщенного нечеткого правила вывода modus tollens. 3.8.3. Правила нечеткой импликацииВ предыдущем пункте мы обсуждали обобщенные нечеткие схемы вывода modus ponens и modus tollens. Функции принадлежности (3.198) и (3.192) в выводах этих схем зависят от функции принадлежности Определение 3.33 Пусть 1. Правило типа minimum
Это правило называется «правилом Мамдани». 2. Правило типа «произведение»
Это правило известно под названием «правило Ларсена». Таблица 3.4. Интуитивные отношения между предпосылками и выводами обобщенного нечеткого правила modus tollens
3. Правило Лукашевича
4. Правило типа max-min
Это правило известно под названием «правило Заде». 5. Бинарное правило
6. Правило Гогуэна
7. Правило Шарпа
8. Правило Гёделя
9. Вероятностное правило
10. Правило ограниченной суммы
Набор этих десяти правил не исчерпывает все известные из литературы определения нечеткой импликации. Представим теперь два примера, иллюстрирующие действие некоторых правил, подпадающих под определение 3.32. Пример 3.30 Применим правило Ларсена (3.202) для нахождения вывода по схеме (3.189), т.е. построим нечеткое множество или, точнее, его функцию принадлежности, соответствующую формуле (3.193)
Будем строить функцию принадлежности нечеткого множества а) б) в) г) Допустим, что
Если
В случае, когда
Для
В случае, когда
Проверим теперь, каким отношениям, определенным в таблице 3.3, соответствуют результаты нечеткого вывода, представленные функциями принадлежности (3.216) - (3.219). Оказывается, что выполняются отношения 1, 2b и 3b. Пример 3.31 Повторим теперь пример 3.30, заменив правило Ларсена (3.202) на правило Шарпа (3.207). Из определения этого правила очевидным образом следуют четыре равенства: 1) Если
2) Если
3) Если
4) Если
В этом случае выполняются отношения 1, 2а, 3а и 4а, приведенные в табл. 3.3. Замечание 3.4 Примеры 3.30 и 3.31 можно повторить с применением других правил нечеткой импликации. При этом окажется [10, 21, 30], что в каждом конкретном случае выполняется только небольшая часть отношений, перечисленных в табл. 3.3. Этот факт оказался стимулом для некоторых авторов (см., например, [23]) к поиску более «рафинированных» правил нечеткой импликации, чем правила (3.201) - (3.210).
|