12.6. Восстановление томограмм с помощью обратного проецирования

Алгоритмы, основанные на методе обратного проецирования, нашли широкое применение в компьютерных томографах благодаря своей простоте и высокой точности. В их основе лежит соотношение (12.25).

Заменим область интегрирования в (12.25)

на более удобную для реализации алгоритма восстановления

(12.26)

используя свойство фурье-образа проекции Радона (12.19). В этом случае (12.25) можно представить в виде:

. (12.27)

Заметим, что фурье-образ в полярных координатах двумерной функции в общем случае обладает свойством, подобным (12.19). Поэтому выражение (12.22) для обратного двумерного преобразования Фурье в полярных координатах можно также представить для области интегрирования (12.26) в виде

(12.28)

Таким образом, чтобы по проекциям восстановить функцию , необходимо в соответствии с (12.27) выполнить определенную последовательность операций:

1) вычислить фурье-образ проекции по следующей формуле:

которая с учетом ограниченных размеров исследуемых объектов имеет вид:

;

2) умножить на ;

3) найти модифицированные проекции

вычислив обратное одномерное преобразование Фурье;

4) произвести интегрирование по углу :

. (12.29)

Очевидно, что операция, описываемая соотношением (12.29), является операцией обратного проецирования.

Для дискретных данных модифицированные проекции вычисляют с помощью одномерного БПФ. Интегрирование в (12.29) заменяют операцией суммирования по . Следует отметить, что при вычислении оценки томограммы на дискретной прямоугольной сетке в четвертом пункте также применяют процедуру интерполяции. Однако эта интерполяция осуществляется не в частотной, как в фурье-алгоритме, а в пространственной области.

Сверточный алгоритм

Выполнение первых трех операций в предыдущем алгоритме для вычисления модифицированных проекций можно заменить операцией свертки проекций (при фиксированном угле ) с функцией :

, (12.30)

где — импульсная характеристика фильтра с частотной характеристикой . Очевидно, что данный фильтр усиливает верхние частоты. На рис. 12.13 показана импульсная характеристика фильтра для дискретных данных при . В силу четности коэффициента передачи фильтра его импульсная характеристика также четная. Следовательно, фильтр, формирующий модифицированные проекции , является некаузальным. Число значащих отсчетов в импульсной характеристике дискретного фильтра невелико. Это свойство импульсной характеристики будет использовано ниже для восстановления фрагментов томограмм. Из (12.29) и (12.30) следует, что обратное преобразование Радона реализуется с помощью сверточного алгоритма в два этапа. На первом этапе выполняют свертку (12.30) проекций с импульсной характеристикой по переменной . Результатом свертки являются модифицированные проекции . На втором этапе осуществляют обратное проецирование модифицированных проекций.

Рис. 12.13. Импульсная характеристика фильтра для вычислении модифицированных проекций

Рис. 12.14. Исходные и модифицированные проекции

Исходные и модифицированные проекции изображения «Фантом» приведены на рис 12.14, а и б. Модифицированные проекции отличаются от исходных повышенной четкостью, обусловленной применением фильтра верхних частот . На рис. 12.15, а...в показаны результаты восстановления изображения «Фантом» сверточным алгоритмом по 15, 45 и 180 проекциям. Неидеальность восстановления томограммы объясняется тем, что количество проекций, полученных под различными углами зондирования, и число лучей являются конечными.

Рис. 12.15. Результат восстановления изображения «Фантом» сверточным алгоритмом

Для сравнения эффективности работы рассмотренных выше алгоритмов на рис. 12.16 приведены результаты восстановления реальной томограммы черепа с атрофией передней части мозга после тяжелой черепно-мозговой травмы (см. рис. 12.16, а). Это изображение далее будем называть «Томограмма». Особенностью изображения «Томограмма» является то, что в отличие от изображения «Фантом» у него флюктуирует яркость на однородных участках. Из приведенных данных следует, что при 180 проекциях фурье-алгоритм с интерполяцией и сверточный алгоритм дают вполне удовлетворительные результаты.

Рассмотренные алгоритмы получены на основе теоремы о центральном сечении для преобразования Фурье. При выводе фурье-алгоритма преобразование Фурье было записано в декартовой системе координат, а при выводе сверточного алгоритма - в полярной. Несмотря на общую основу, практическая реализация этих алгоритмов различна. Сверточный алгоритм оказался наиболее широко используемым алгоритмом в компьютерных томографах. Его преимуществом является то, что операции свертки и обратного проецирования для каждого ракурса могут выполняться независимо, а результирующее изображение представляет собой сумму изображений, полученных для каждого из ракурсов. Поэтому затраты машинного времени для ЭВМ с параллельной обработкой данных оказываются исключительно малыми. Анализ объемов вычислений, требуемых для реализации алгоритмов, показал, что фурье-алгоритм экономичнее алгоритма свертки за счет использования двумерного БПФ. Однако при его реализации необходимо массивы исходных данных дополнять нулями, чтобы уменьшить ошибки интерполяции. Следует отметить, что экономичная процедура БПФ может быть реализована для размеров строк и столбцов изображений, кратных . Это ограничение приводит также к увеличению объема вычислений при реализации фурье-алгоритма.

Кроме того, сверточный алгоритм позволяет построить томограмму локального участка исследуемою объекта достаточно высокого качества. Задача восстановления локального участка возникает в тех случаях, когда неудобно или нежелательно собирать проекционные данные по всему сечению тела. Например, при исследовании биологических тканей человека целесообразно уменьшить дозу облучения, ограничив воздействие зондирующего пучка лучей той частью сечения, которая представляет интерес для медицинской диагностики. В этом случае просвечивается не вся область, ограниченная окружностью радиусом (см. рис. 12.1), а лишь та ее часть, где находится интересующий исследователя локальный участок. При этом количество лучей, а следовательно, и уровень облучения могут быть значительно уменьшены.

Рис. 12.16. Результаты восстановления изображения «Томограмма»: а - исходное изображение «Томограмма»: б ...г - алгоритм обратного проецирования: д...ж - фурье-алгоритм с интерполяцией по ближайшему значению: з...к - фурье-алгоритм с интерполяцией за счет дополнения нулями: исходная последовательности была увеличена

в 4 раза: л...н - сверточный алгоритм (см. также с. 335. 336)

Рис. 12.16.Продолжение

Рис. 12.16.Окончание

На рис. 12.17 приведены результаты восстановления центральной части изображения «Фантом» сверточным и фурье-алгоритмом при 180 проекциях и 50 лучах, проходящих через центральную часть изображения. Радоновский образ для фиксированных значений вычислялся путем суммирования данных вдоль всего луча, проходящего через изображение размером элементов. Поэтому отсчеты исходного изображения, которые находились за пределами локальной области, являлись по сути помехой. Восстанавливалось изображение размером элементов. Естественно, удается получить изображение лишь локальной области, представляющей собой окружность, диаметр которой зависит от количества лучей. Сверточный алгоритм обеспечивает более высокое качество восстановления, чем фурье-алгоритм.

Рис. 12.17. Результаты восстановления локального фрагмента изображения фантом (размеры всех изображений увеличены в 2 раза): а - центральная часть исходного изображения «Фантом»: б и в - результаты восстановления локального фрагмента изображения «Фантоме сверточным и фурье алгоритмами

Это объясняется тем, что импульсная характеристика фильтра содержит лишь несколько значащих отсчетов. Поэтому отсутствие проекционных данных за пределами сравнительно узкого пучка приводит лишь к искажению краев локальной области. Количество искаженных отсчетов на краях локальной области определяется числом значащих отсчетов в импульсной характеристике фильтра. При восстановлении с помощью фурье-алгоритма на изображении наблюдаются достаточно сильные высокочастотные осцилляции яркости, обусловленные резким скачком яркости на краях проекционных данных. Для их устранения необходимо применять регуляризирующие окна, аналогичные тем, что рассмотрены в четвертой главе.