1.2. Квантование изображений

При цифровой обработке изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится на ряд дискретных уровней. Эта процедура называется квантованием. Квантователь преобразует непрерывную переменную в дискретную переменную , принимающую конечное множество значений . Эти значения называются уровнями квантования. В общем случае преобразование выражается ступенчатой функцией (рис. 1.5). Если яркость отсчета изображения принадлежит интервалу (т.е., когда ), то исходный отсчет заменяется на уровень квантования , где - пороги квантования. При этом полагается, что динамический диапазон значений яркости ограничен и равен .

Рис.1.5.Функция, описывающая квантование

Задача построения квантователя состоит в определении значений порогов и уровней . Простейший способ решения этой задачи состоит в разбиении динамического диапазона на одинаковые интервалы. Однако такое решение не является наилучшим. Если значения яркости большинства отсчетов изображения сгруппированы, например, в «темной» области и число уровней ограничено, то целесообразно квантовать неравномерно. В «темной» области следует квантовать чаще, а в «светлой» реже. Это позволит уменьшить ошибку квантования .

Таким образом, задачу построения квантователя можно сформулировать как задачу нахождения оптимальных значений и , удовлетворяющих некоторому критерию оптимизации. Обычно при фиксированном числе уровней квантователь оптимизируется по критерию минимальной среднеквадратической ошибки

(1.12)

в предположении, что яркость - случайная величина с известной плотностью вероятности .

Cреднеквадратическая ошибка квантования (1.12) равна

. (1.13)

Дифференцируя (1.13) по переменным , и приравнивая производные нулю, получаем нелинейных уравнений

, (1.14)

Следует отметить, что крайние пороги и определяются динамическим диапазоном яркости. Уравнения (1.14) нетрудно привести к виду

, (1.15)

Из (1.15) следует, что пороги должны располагаться по середине между двумя соседними уровнями и . Решение этих уравнений можно найти итеративным способом. Оптимальный квантователь, удовлетворяющий критерию (1.12), называется квантователем Ллойда-Макса [1.3, 1.5], а среднеквадратическая ошибка для такого квантователя равна

(1.16)

При равномерном распределении яркости нелинейные уравнения (1.15) можно представить в виде [1.3]

а среднеквадратическая ошибка равна .

В системах цифровой обработки изображений стремятся уменьшить число уровней и порогов квантования, т.к. от их количества зависит длина двоичного кодового слова, которым представляются проквантованные отсчеты в ЭВМ. Однако при относительно небольшом числе уровней на проквантованном изображении появляются ложные контуры. Они возникают вследствие скачкообразного изменения яркости проквантованного изображения (рис.1.6) и особенно заметны на пологих участках ее изменения.

Ложные контуры значительно ухудшают визуальное качество изображения, т.к. зрение человека особенно чувствительно именно к контурам. При равномерном квантовании типичных изображений требуется не менее 64 уровней. На рис.1.7.а и 1.7.б приведены результаты равномерного квантования изображения «Портрет» соответственно на 256 и 14 уровней квантования.

Рис.1.6. К механизму возникновения ложных контуров


а)		б)
Рис.1.7. Результаты равномерного квантования

Рис.1.8. Результат неравномерного квантования	Рис.1.9. Гистограмма изображения “Портрет”

В темных частях изображения на рис. 1.7.б заметны ложные контуры. Использование квантователя Ллойда-Макса позволяет существенно снизить их уровень (см. рис. 1.8, где число уровней квантования также равно 14). На рис. 1.9 приведена гистограмма яркости изображения «Портрет» при 256 уровнях квантования и отмечены пороги при . Из рисунка следует, что чаще квантуются те области динамического диапазона, в которых сгруппированы значения яркости отсчетов.

Чтобы избежать неравномерного квантования, которое не может быть выполнено с помощью стандартного АЦП, используют нелинейные преобразования (рис.1.10). Отсчет исходного изображения подвергается нелинейному преобразованию, чтобы плотность распределения вероятностей преобразованных отсчетов была равномерной, т.е. выполняется процедура эквализации, которая подробно описана в главе 2. Затем отсчеты квантуются с равномерным шагом и подвергаются обратному нелинейному преобразованию.

Рис.1.10. Квантование с предварительным нелинейным преобразованием

Для разрушения ложных контуров Робертс предложил перед равномерным квантованием к отсчетам яркости добавлять шум с равномерной плотностью распределения вероятностей. Добавленный шум переводит одни отсчеты изображения на уровень выше, а другие на уровень ниже. Тем самым разрушаются ложные контуры. Дисперсия добавляемого шума должна быть небольшой, чтобы не привести к искажениям, воспринимаемым как «снег» на изображении, и в то же время достаточной для разрушения ложных контуров. Обычно используют равномерно распределенный шум на интервале . Результаты равномерного квантования на 14 и 8 уровней изображения «Портрет» с предварительным добавлением шума приведены на рис.1.11.а и 1.11.б. При 8-ми уровнях квантования добавляемый шум становится слишком заметным, однако ложные контуры разрушены практически полностью.


а)	б)
Рис.1.11. Результаты равномерного квантования с предварительным добавлением шума

Еще один метод квантования используется в полиграфии. Это метод формирования растровых бинарных (2-х уровневых) изображений из полутоновых. При печати (например, газет или журналов) изображение формируется из белых и черных точек. Для этого все исходное изображение разбивается по пространственным координатам на одинаковые квадратные блоки. Обычно блок содержит элементов. К каждому отсчету блока добавляется число с соответствующими координатами из матрицы возмущающего сигнала, размеры которой равны размерам блока. Например, в качестве матрицы возмущающего сигнала используют числа [1.5]:

Эта операция повторяется для всех блоков. Получаемое при этом изображение квантуется на два уровня. На рис. 1.12.а приведено полутоновое изображение «Портрет» с добавленным возмущающим сигналом. На рис. 1.12.б,в приведены результаты бинарного квантования изображения «Портрет» с добавленным возмущающим сигналом (рис.1.12.б) и без него (рис.1.12.в).

а)


б)	в)
Рис.1.12.Растрирование изображений

Бинарное растровое изображение обеспечивает значительно лучшее зрительное впечатление, чем обычное бинарное изображение. Передача шкалы яркости при растрировании достигается благодаря изменению геометрических размеров белого пятна, наблюдаемого на черном фоне. Если в блоке сгруппировались «светлые» отсчеты, то геометрические размеры белого пятна максимальны и равны размеру блока. При уменьшении яркости его геометрические размеры также уменьшаются. Глаз человека выполняет локальное усреднение, создавая иллюзию наблюдения полутонового изображения. Процедура растрирования особенно эффективна при печати изображений с высоким разрешением, когда одиночное пятно едва различимо глазом.