5.1.2. Однородные координаты

 Для преодоления отмеченных проблем описания геометрических объектов, а также для решения задач преобразования 3D-пространства и 2D-плоскости  в единообразном (матричном) виде вводится формализм так называемых однородных координат. Однородными координатами служат тройки чисел  (одновременно не равные нулю), связанные с обычными  координатами точек плоскости соотношением:

, так что . Совершенно очевидным свойством однородных координат является эквивалентность пары однородных векторов, если один в другой переводятся посредством скалярного множителя

.

Поскольку скалярный множитель  произвольный, то однородные координаты в действительности представляют линию, проходящую через начало координат в евклидовом пространстве. Прямые линии на плоскости также можно представить 3-векторами в однородных координатах:

,

где  - произвольный скалярный множитель.

Видно, что, как и для двух точек, однородные координаты двух линий эквивалентны, если отличаются лишь общим скалярным множителем. Однородные точки , лежащие на однородной линии  определяются уравнением

 или .

Таким образом, точки и линии имеют здесь одинаковые представления. Нетрудно заметить, что прямым, проходящим через начало в данном представлении соответствует значение . Двойственным образом, точка пересечения двух параллельных прямых, лежащая в бесконечности, имеет множитель .