8.2.1. Декорреляция фона изображения

Часто при вероятностном описании изображений достаточно точной является гауссовская модель. В этом случае независимость и некоррелированность элементов изображения эквивалентны друг другу. Поэтому предобработка сводится к такому преобразованию изображения, при котором его элементы становятся некоррелированными. Ограничимся далее случаем гауссовского распределения.

Для построения декоррелирующей процедуры воспользуемся широко известным описанием изображения при помощи стохастических разностных уравнений, применение которых уже рассматривалось и в настоящем пособии. Целесообразно использовать некаузальную модель, простейший вариант которой описывается уравнением:

.        (8.18)

Здесь  — гауссовское поле, а ,  — параметры, характеризующие меру влияния соседних отсчетов на данный отсчет поля. Уравнение (8.18) описывает комбинированное действие двух механизмов.

Рис. 8.2. Корреляционная функция шума предсказания

Первые слагаемые в (8.18), заключенные в квадратные скобки, можно рассматривать как прогноз (предсказание) поля в точке  по соседним его отсчетам. В данном случае в прогнозе участвуют четыре соседние точки, конфигурация расположения которых в кадре соответствует используемой некаузальной модели.

Второй механизм представлен слагаемым , также являющимся случайным полем с гауссовским законом распределения. С его помощью описывается шум или ошибка предсказания. Если первые слагаемые характеризуют передачу информации окружающих точек в точку , то последнее описывает новую информацию, содержащуюся в данной точке.

Некоторые результаты изучения моделей случайных полей вида (8.18), полученные Д. Вудсом, приведены в работах [8.2, 8.3]. Доказано, что, если фон  является марковским полем, то корреляционная функция шума предсказания  имеет вид, качественно показанный на рис. 8.2. Ее важной особенностью является равенство нулю при всех значениях,, за исключением четырех точек при  или , в которых  или  соответственно. При этом достоинство модели (8.18) состоит и в том, что описываемое с ее помощью случайное поле очень близко к изотропному (при), а изотропность характерна для большинства реальных изображений.

С учетом этих свойств модели фона (8.18) воспользуемся для его декорреляции процедурой:

.     (8.19)

Здесь и в дальнейшем символом «~» будем обозначать продукт декорреляции. Как видно из (8.19), результат этой обработки совпадает с шумом предсказания , который по свойствам своей корреляционной функции близок к белому шуму. Для того чтобы при обнаружении ЛКП использовать независимую выборку, ее отсчеты следует располагать так, чтобы их взаимная корреляция равнялась нулю. При этом следует руководствоваться видом корреляционной функции, изображенной на рис 8.2. Если же , , то в качестве приближенно независимой выборки можно использовать все элементы декоррелированного изображения без геометрических ограничений.

Процедура декорреляции воздействует и на сигнальную составляющую изображения. Необходимо оценить изменение яркостного перепада, происходящее при этом воздействии. Представим полную модель исходного изображения  в виде суммы непрерывной (фоновой) составляющей  и ступенчатой функции , описывающей яркостный перепад:

.                            (8.20)

Полагаем, что функция  принимает одно из двух значений  или , причем в пределах локальных участков граница, разделяющая области малой и большой яркости, прямолинейна. Считается, что линия границы может иметь одну из четырех ориентаций — вдоль координатных направлений и под углами  к ним. В результате воздействия декоррелирующей процедуры на изображение  формируется преобразованное изображение:

состоящее из суммы преобразованных сигнала  и фона . Предположим, что сигнальная функция  представляет собой яркостный перепад, ориентированный вдоль столбцов изображения, что символически показано в верхней части рис. 8.3. Полагаем, что скачок яркости происходит на -м столбце, т.е. исходный сигнал описывается выражением:

Вид сигнала, прошедшего через процедуру декорреляции, зависит от значений параметров , , поэтому остановимся на их определении. Примем условие одинаковости характеристик изображения по строкам и столбцам, при котором . Поскольку параметр  участвует в процедуре некаузального предсказания (8.18), его выбор необходимо подчинить минимизации ошибок этого предсказания:

.

Рис. 8.3. Преобразование яркостного перепада при декорреляции

Приравнивая нулю производную по  левой части этого выражения, находим:

                                (8.21)

где  — нормированная корреляционная функция фона, вид которой необходимо далее конкретизировать. Большинство реальных изображений обладает свойством изотропности, при котором корреляционные свойства одинаковы по всем направлениям. Этому отвечает часто применяемая аппроксимация вида:

,                                          (8.22)

параметр  которой имеет смысл одношагового коэффициента корреляции, поскольку . Подставляя данную аппроксимацию в (8.21), находим

.

Очень часто значения коэффициента одношаговой корреляции  лежат в пределах. Этому соответствует . Изменение параметра  в таких небольших пределах незначительно изменяет отклик оператора декорреляции на яркостный перепад . Поэтому в нижней части рис. 8.3 приведено сечение выходного сигнала, рассчитанное при . Здесь  — абсолютная величина яркостного перепада. Из рисунка видно, что преобразованный сигнал имеет два одноточечных пика одинаковой величины и противоположных знаков.

Отметим, что приведенный пример соответствует входному перепаду типа "от темного к светлому". Характер отклика остается таким же и при противоположном перепаде типа "от светлого к темному". В этом случае лишь изменяется очередность следования импульсов положительной и отрицательной полярности.