10.1. Операции математической морфологии

Двухградационное изображение можно рассматривать как индикаторную функцию набора множеств в  (как, например, индикаторную функцию множества  на рис.10.1). Для данного множества  можно зафиксировать некоторый элемент (не обязательно принадлежащий этому множеству), который назовем центром (или началом) множества . Обозначим через  множество  , центр которого помещен в точку . Одним из основных понятий математической морфологии является понятие структурного элемента. Структурный элемент  - это множество, состоящее из двух непересекающихся подмножеств  и , для которых определено общее начало.

Рис. 10.1. Двухградационное изображение

 

НМ-преобразование

 

Согласно [10.2] базовым преобразованием, позволяющим строить набор различных операций математической морфологии, является преобразование Hit or Miss. Нам не удалось найти адекватного перевода этому названию, поэтому далее будем пользоваться названием НМ-преобразование. Для данного множества  и данного структурного элемента  результат НМ- преобразования определяется как

.                               (10.2)

(Здесь через  обозначено дополнение множества ).

Нетрудно видеть (рис. 10.2), что в результате НМ- преобразования на исходном изображении выделяются элементы, окрестность которых совпадает со структурным элементом (заметим, что форма окрестности определяется формой структурного элемента). Условие (10.2) выполняется для элементов, лежащих на нижней границе  (например, 1...4 позиции структурного элемента). В позиции 5 , но , в позиции 6, наоборот, а , но , а в позиции 7 не выполняются оба условия.

Применяя НМ-преобразование с различными структурными элементами, можно выделять специфические геометрические особенности изображений.

Рис. 10.2. НМ-преобразование

 

Эрозия

 

Частным случаем НМ-преобразования является операция эрозии (erosion). Пусть в структурном элементе  подмножество  - пусто . При этом условие  всегда выполняется и в множество  включаются только те элементы исходного множества, для которых выполняется условие :

                                  (10.3)

Иначе говоря, если , a , то в множество  включаются такие элементы, для которых выполняется условие  (рис. 10.3).

С другой стороны, если  пробегает все возможные положения в , условие   выполняется тогда и только тогда, когда  принадлежит смещенному множеству  (рис. 10.4). Поэтому другое, эквивалентное, представление операции эрозии имеет вид

,                      (10.3’)

где  — множество, симметричное  относительно его начала. Это представление может оказаться полезным при численной реализации операции эрозии.

Рис. 10.3. Эрозия

Рис.10.4. Эрозия как пересечение смещенных множеств

 

 Дилатация

 

Операцией, двойственной к эрозии, является дилатация (dilation), которая определяется следующим образом (рис. 10.5):

                                 (10.4)

Другое представление дилатации имеет вид,

                                          (10.4’)

как это показано на рис. 10.6.

Рис. 10.5. Дилатация

Рис. 10.6. Дилатация как объединение смешенных множеств

Если рассматривать множество  как объект, а  как фон в изображении, то дилатацию объекта можно интерпретировать как эрозию фона:

.                                                 (10.5)

Действительно,

 

Алгебраические свойства дилатации и эрозии

 

Приведем здесь без доказательства ряд полезных свойств рассмотренных операций.

а) Дистрибутивность: дилатация дистрибутивна относительно объединения

,                                       (10.6)

а эрозия — относительно пересечения множеств

                                        (10.6’)

Свойство дистрибутивности с учетом соотношения (10.5) позволяет выполнять операции над  по фрагментам, комбинируя затем результаты посредством объединения или пересечения.

б) Итеративность:

                             (10.7)

.                                (10.7')

Это чрезвычайно важное свойство, поскольку оно позволяет разлагать сложные структурные элементы в композицию более простых (рис. 10.7). Соответственно, операции со сложными элементами могут быть заменены последовательностью операций с более простыми. Так, эрозию некоего множества  посредством структурного элемента , приведенного на рис. 10.7, можно заменить четырьмя последовательными эрозиями со структурными элементами.

в) инвариантность к изменению масштаба:

                                          (10.8)

                                          (10.8')

В этих соотношениях через ,  обозначены множества

(рис. 10.8).

Рис. 10.7. Декомпозиция структурных элементов

Рис. 10.8. Инвариантность эрозии и дилатации к масштабным преобразованиям

 

Применение эрозии и дилатации

 

Эрозия и дилатация — операции, предназначенные в первую очередь для выявления различных морфологических особенностей изображений, с использованием различных структурных элементов. Например, эрозия посредством круга с радиусом  позволяет найти в изображении объекты, минимальный поперечный размер которых превышает . Если же в качестве структурного элемента взять две точки, смещение между которыми определяется вектором , эрозия позволит выделить объекты, имеющие соседей в направлении и на расстоянии, заданных этим вектором (рис. 10.9). (Под объектами здесь подразумеваются односвязные множества.)

Рис. 10.9. Верхний ряд - исходное множество. Средний ряд —. Нижний ряд —. Стрелками помечены начала структурных элементов

Более интересное применение эрозии с двухточечным структурным элементом заключается в том, что с ее помощью можно вычислять автокорреляцию изображения. Автокорреляция изображения, заданного индикаторной функцией , определяется как

,

где  можно интерпретировать как индикаторную функцию множества , зависящего от параметра , поскольку

Нетрудно убедиться, что , поэтому

.

С другой стороны, посредством эрозии и дилатации можно осуществлять фильтрацию изображений. Условной эрозией назовем операцию

,                (10.9)

а условной дилатацией — операцию

 ,                     (10.9')

где  - некоторое множество.

Введем последовательность структурных элементов  и обозначим

                     (10.10)

последовательные эрозии и

                     (10.10')

последовательные дилатации множества посредством структурных элементов . Последовательной условной эрозией назовем операцию

             (10.11)

а последовательной условной дилатацией — операцию

              (10.11’)

Последовательность  может быть как конечной, так и бесконечной. Отметим, однако, не приводя доказательства, что если множество  ограничено, то последовательные условные операции сходятся к устойчивому результату за конечное число шагов.

Пусть  — бесконечная последовательность одинаковых структурных элементов, скажем, кругов радиуса  с началом в центре круга. Тогда операция  позволяет удалить из изображения все объекты с поперечными размерами менее , полностью сохранив форму оставшихся объектов. Напротив, операция  удаляет внутри объектов полости с поперечным размером менее , сохраняя при этом неизменными внешние границы объектов (рис. 10.10).

Рис. 10.10. Действие условных дилатаций (слева) и эрозии (справа) на объекты  разных размеров (вверху и внизу)

 

Заполнение и пополнение

 

Выше мы видели, что в общем случае невозможно точно восстановить исходное множество после эрозии  с помощью только дилатации посредством того же структурного элемента . Дилатация восстанавливает только часть множества , имеющую меньше деталей, но наиболее существенную с точки зрения характеристик формы и размера. Определим операцию заполнения (opening в оригинальных работах) множества  посредством структурного элемента  как

                                         (10.12)

Аналогично определим операцию пополнения (closing) множества  посредством структурного элемента :

                                       (10.13)

Легко показать, что

                      (10.14)

В применении к изображениям эти соотношения означают, что заполнение (соответственно, пополнение) объектов и пополнение (соответственно, заполнение) фона суть операции эквивалентные.

Приведем без доказательства важное свойство этих операций — их идемпотентность:

                                 (10.15)

 

Применение заполнения и пополнения

 

Так же как эрозия и дилатация, заполнение и пополнение могут быть использованы для фильтрации изображений, сглаживания границ объектов, удаления мелких объектов и узких «хвостов» (заполнение), удаления мелких полостей и узких «каналов» (пополнение). Степень сглаживания и размеры удаляемых артефактов зависят от размеров структурного элемента, который обычно выбирается в форме круга для непрерывных изображений или правильного выпуклого многоугольника - для дискретного случая. Отметим, что при фильтрации одинаковыми структурными элементами степень искажений, вносимых в полезные детали изображения, при использовании заполнения (пополнения), оказывается значительно меньшей, чем при использовании эрозии (соответственно, дилатации). Сравните, например, на рис. 10.10 результаты операций и  (и соответственно). Поскольку в этом примере структурный элемент симметричен относительно отражения от начала, т.е. , то

.

Более интересным представляется применение операции заполнения для описания формы объектов. Пусть анализируемое множество  - круг радиусом  и структурный элемент  - круг радиусом  с началом в центре круга. Рассмотрим поведение функции

.                           (10.16)

Легко понять, что до тех пор, пока радиус структурного элемента не превышает радиуса анализируемого множества, . Как только  превысит , , поскольку в результате эрозии, являющейся первой операцией в заполнении, будет получено пустое множество. В результате получим

Пусть теперь множество  - область, ограниченная эллипсом с полуосями  и , причем. Радиус кривизны эллипса достигает своего минимального значения при пересечении с большой осью. Поэтому до тех пор, пока радиус структурного элемента будет меньше, чем , заполнение не будет приводить к изменению исходного множества и, следовательно, . С другой стороны, ясно, что как только радиус структурного элемента станет больше малой полуоси эллипса , в результате заполнения получится пустое множество и  примет нулевое значение. В промежутке от  до   будет монотонно убывать от  до нуля. Поэтому  примет вид:

где  — монотонно убывающая функция .

Иногда удобнее пользоваться функцией  характеризующей изменение меры анализируемого множества при заполнении его семейством монотонно увеличивающихся структурных элементов. На рис. 10.11 приведены примеры объектов разной формы и соответствующие им функции .

Рис.10.11. Представление формы объектов посредством последовательных заполнений

Функция  может быть вычислена не для одиночного объекта, а, скажем, для изображения, содержащего множество объектов. Можно предполагать, что если все объекты имеют близкие размеры, то  будет унимодальной, а если объекты образуют несколько групп по размерам, то в  появится несколько выраженных пиков при значениях , соответствующих этим размерам. Аналогичным образом сформировав функцию

                           (10.17)

для операции пополнения, можно использовать ее для анализа расстояний между объектами и обнаружения пространственной группировки объектов.