12.4. Теорема о центральном сечении

В основе большинства алгоритмов восстановления томограмм лежит теорема о центральном сечении, которая устанавливает связь между преобразованием Фурье функций  и. Далее будем обозначать: одномерное прямое и обратное преобразование Фурье символами  и , а двумерное -  и; фурье-образы от функций  и  - строчными буквами, причем нижний индекс будет обозначать размерность преобразования, например:

                    (12.17)

                                                            

     (12.18)

,             

где   — линейные частоты,  — мнимая единица.

Следует отметить, что в отличие от , пара вещественных чисел  из области определения фурье-образа проекции Радона  может быть интерпретирована как точка на плоскости в полярных координатах, так как  при  (докажите это). Кроме того, функция  удовлетворяет условию

,                                     (12.19)

аналогичному (12.7) или (12.10). Соотношение (12.19) можно доказать, воспользовавшись свойством (12.7) радоновских образов. Подставив в (12.17) функцию  вместо, а затем, заменив переменную  на , получим:

.

Двумерное обратное преобразование Фурье в полярных координатах, связанных с декартовыми координатами в частотной области соотношениями

                                                    (12.20)

и

                                                (12.21)

имеет вид

   (12.22)

Здесь учтено, что якобиан преобразования (12.20) равен .

Теорема о центральном сечении утверждает, что одномерный фурье-образ проекции равен сечению двумерного фурье-образа функции  вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной области под углом  к оси , т.е.

,                     (12.23)

где координаты в прямоугольной  и полярной  системах координат связаны соотношениями (12.20), (12.21). Иными словами, одномерный фурье-образ  является центральным сечением двумерного фурье-образа функции .

Для доказательства (12.23) воспользуемся соотношением (12.6). Одномерное преобразование Фурье от  по параметру  равно

.    (12.24)

Выполнив замену переменных в (12.24) в соответствии с уравнением прямой (12.4) и формулами преобразования координат (12.3), получим

.

Из (12.23) следует, что двумерный фурье-образ функции  в полярной системе координат можно вычислить, выполнив ее преобразование Радона (12.5), а затем, осуществив одномерное преобразование Фурье проекций по переменной . Преобразование Радона функции  можно получить, вычислив ее двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат  и взяв обратное одномерное преобразование Фурье по переменной .